Kamiran

Kamiran (bahasa Inggeris: Integralcode: en is deprecated ) ialah satu konsep dalam matematik yang membentuk antara operasi-operasi utama dalam kalkulus bersama-sama pembezaan. Diberi fungsi ƒ dengan satu pemboleh ubah nyata x, dan julat nilai x itu adalah dari a ke b, [a, b] pada garis nyata, kamiran tentu ditakrifkan sebagai:

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\,,}$

dan ditakrifkan secara tidak formal sebagai luas bertanda bersih kawasan di satah xy yang dibatasi dengan graf ƒ, paksi-x, dan garis menegak x = a dan x = b.

Istilah kamiran juga boleh merujuk kepada tanggapan antiterbitan, fungsi F dengan terbitan ialah fungsi diberi ƒ. Dalam kes ini, ia dipanggil sebagai kamiran tak tentu, manakala kamiran yang bakal dibincangkan dalam rencana ini dipanggil kamiran tentu. Sesetengah penulis mengekalkan perbezaan antara antiterbitan dan kamiran tak tentu.

Prinsip kamiran telah diterbitkan oleh Isaac Newton dan Gottfried Leibniz secara berasingan (mereka berada di tempat yang berbeza, namun menerbitkan hasil kerja pada waktu yang sama) pada lewat kurun ke-17. Melalui teori asas kalkulus yang juga diterbitkan oleh mereka berdua, kamiran dikaitkan dengan pembezaan yang telah diketahui umum ketika itu. Perkaitan itu menyatakan bahawa jika f ialah satu fungsi selanjar dengan nilai nyata serta had [a, b], maka apabila antiterbitan F untuk f diketahui, kamiran tentu f dalam had yang diberikan adalah

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a)\,.}$

Kamiran dan terbitan adalah asas kalkulus. Kedua-duanya banyak diguna pakai dalam pelbagai bidang sains dan kejuruteraan. Selain kaedah di atas, kaedah Bernhard Riemann juga boleh diterima. Menurut kaedah ini, kawasan di bawah suatu garis itu dipecahkan kepada kepingan-kepingan mencancang yang kecil. Untuk mencari kamiran bagi fungsi garis tadi, luas setiap kepingan dikira dan dijumlahkan. Namun kaedah ini mempunyai batasnya, terutama dalam aplikasi. Bermula abad ke-19, kaedah-kaedah yang lebih canggih muncul, di mana jenis-jenis kamiran serta kawasan di mana kamiran dilakukan semakin kompleks. Sebagai contoh, kamiran garisan ialah kamiran untuk fungsi dengan dua atau tiga anu, dan had [a, b] diubah kepada satu lengkungan yang menyambungkan dua titik dalam satu satah atau ruang. Kamiran permukaan pula merupakan kamiran sekeping permukaan dalam ruang tiga matra. Kaedah-kaedah ini muncul pada mula-mulanya melalui perkembangan dalam fizik. Kamiran memainkan peranan penting dalam banyak hukum fizik, terutamanya dalam elektrodinamik. Kini, terdapat banyak kaedah moden untuk menyelesaikan kamiran. Salah satu kaedah yang terkenal dipanggil kamiran Lebesgue yang diterbitkan oleh Henri Lebesgue.

Sejarah

Lihat juga: Sejarah kalkulus

Kamiran sebelum penerbitan kalkulus

Kamiran telah diguna pakai sejak zaman Mesir purba sejak sekitar 1800 SM, di mana Papirus Matematik Moscow telah menunjukkan formula untuk menyelesaikan masalah berkaitan pembinaan piramid. Teknik pertama yang sistematik dan tersusun dalam menyelesaikan masalah kamiran adalah kaedah penyusutan (exhaustion method) oleh Eudoxus pada sekitar 370 SM. Kaedah ini digunakan untuk mencari luas kawasan dengan memecahkan kawasan itu kepada kawasan-kawasan kecil yang luasnya diketahui. Kaedah ini juga boleh digunakan untuk mencari isi padu. Archimedes menggunakan kaedah penyusutan untuk mengira nilai pi, luas bulatan dan luas parabola. Kaedah yang hampir sama telah dibina oleh ahli matematik Cina Liu Hui, juga untuk mencari luas bulatan. Kaedah Liu Hui pula dikembangkan oleh pasangan ayah dan anak Zu Chongzhi dan Zu Geng untuk mencari isi padu sfera.^[1] Pada abad yang sama, ahli matematik India Aryabhata menggunakan kaedah yang hampir sama untuk mencari luas kiub.^[2]

Langkah seterusnya dalam perkembangan kamiran berlaku di Iraq apabila ahli matematik Islam abad ke-11, Ibn Al-Haitham merancang satu masalah yang kini dikenali sebagai "masalah Al-Haitham" dalam buku fiziknya Kitab Al-Manazir ("Kitab Penglihatan"). Masalah ini membawa kepada persamaan darjah keempat (iaitu persamaan yang melibatkan kuasa 4 atau x⁴). Semasa menyelesaikan permasalahan ini, beliau telah menggunakan kamiran untuk mencari isi padu paraboloid. Menggunakan induksi matematik melalui pengiraan, beliau telah mengasaskan kamiran bagi polinomial darjah keempat. Namun begitu, Ibn Al-Haitham tidak mengambil berat akan polinomial dengan darjah lebih tinggi daripada 4.^[3] Selain Ibn Al-Haitham, idea-idea tentang kamiran juga boleh ditemui dalam buku astronomi Siddhanta Shiromani yang ditulis oleh ahli matematik India Bhaskara II pada kurun ke-12.

Kemajuan seterusnya muncul pada kurun ke-16. Pada masa ini asas kalkulus moden telah tercipta melalui pengiraan yang dibuat oleh Cavalieri dengan prinsip Cavalieri dan kerja-kerja Fermat. Langkah untuk penciptaan kalkulus moden ini semakin dikukuhkan oleh Barrow dan Torricelli pada awal kurun ke-17 apabila kedua-duanya menyatakan terdapat hubungan antara pembezaan dan kamiran.

Pada masa yang hampir sama, ahli matematik Jepun juga banyak membuat pengiraan kamiran, terutama Seki Kōwa.^[4] Beliau membuat beberapa sumbangan seperti mengaplikasikan kaedah penyusutan untuk mencari luas kawasan melalui kamiran.

Newton and Leibniz

Perkembangan besar dalam kamiran muncul pada abad ke-17 apabila kedua-dua Newton dan Leibniz menerbitkan teori asas kalkulus (fundamental theorem of calculus). Teori ini membuktikan kaitan antara kamiran dan pembezaan. Perkaitan ini, dicampur dengan pembezaan yang jauh lebih senang daripada kamiran, digunakan oleh kedua-duanya untuk membuktikan kewujudan kamiran dengan sistematik dan saintifik. Kamiran menyelesaikan banyak masalah yang gagal diselesaikan dengan pembezaan. Sesuatu fungsi yang berterusan boleh dianalisa dengan tepat melalui kalkulus yang diberi nama infinitesimal calculus ini. Kerja-kerja Newton dan Leibniz ini akhirnya dipanggil kalkulus moden, dimana tatanama untuk kamiran diambil secara langsung dari kerja Leibniz.

Lihat juga

Nota

Rujukan

• Apostol, Tom M. (1967), Calculus, Vol. 1: One-Variable Calculus with an Introduction to Linear Algebra (ed. 2nd), Wiley, ISBN 978-0-471-00005-1
• Bourbaki, Nicolas (2004), Integration I, Springer Verlag, ISBN 3-540-41129-1. In particular chapters III and IV.
• Burton, David M. (2005), The History of Mathematics: An Introduction (ed. 6^th), McGraw-Hill, m/s. p. 359, ISBN 978-0-07-305189-5
• Cajori, Florian (1929), A History Of Mathematical Notations Volume II, Open Court Publishing, m/s. 247–252, ISBN 978-0-486-67766-8
• Dahlquist, Germund; Björck, Åke (2008), "Chapter 5: Numerical Integration", Numerical Methods in Scientific Computing, Volume I, Philadelphia: SIAM, diarkibkan daripada yang asal pada 2007-06-15, dicapai pada 2009-10-28
• Folland, Gerald B. (1984), Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications (ed. 1st), John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-80958-6
• Fourier, Jean Baptiste Joseph (1822), Théorie analytique de la chaleur, Chez Firmin Didot, père et fils, m/s. §231
  Available in translation as Fourier, Joseph (1878), The analytical theory of heat, Freeman, Alexander (trans.), Cambridge University Press, m/s. pp. 200–201 |pages= has extra text (bantuan)
• Heath, T. L., penyunting (2002), The Works of Archimedes, Dover, ISBN 978-0-486-42084-4
  (Originally published by Cambridge University Press, 1897, based on J. L. Heiberg's Greek version.)
• Hildebrandt, T. H. (1953), "Integration in abstract spaces", Bulletin of the American Mathematical Society, 59 (2): 111–139, ISSN 0273-0979
• Kahaner, David; Moler, Cleve; Nash, Stephen (1989), "Chapter 5: Numerical Quadrature", Numerical Methods and Software, Prentice Hall, ISBN 978-0-13-627258-8
• Leibniz, Gottfried Wilhelm (1899), Gerhardt, Karl Immanuel (penyunting), Der Briefwechsel von Gottfried Wilhelm Leibniz mit Mathematikern. Erster Band, Berlin: Mayer & Müller
• Miller, Jeff, Earliest Uses of Symbols of Calculus, diarkibkan daripada yang asal pada 1998-12-05, dicapai pada 2007-06-02
• O’Connor, J. J.; Robertson, E. F. (1996), A history of the calculus, dicapai pada 2007-07-09
• Rudin, Walter (1987), "Chapter 1: Abstract Integration", Real and Complex Analysis (ed. International), McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-100276-9
• Saks, Stanisław (1964), Theory of the integral (ed. English translation by L. C. Young. With two additional notes by Stefan Banach. Second revised), New York: Dover
• Stoer, Josef; Bulirsch, Roland (2002), "Chapter 3: Topics in Integration", Introduction to Numerical Analysis (ed. 3rd), Springer, ISBN 978-0-387-95452-3.
• W3C (2006), Arabic mathematical notation

Pautan luar

• The Integrator by Wolfram Research
• Riemann Sum by Wolfram Research
• Function Calculator from WIMS
• Mathematical Assistant on Web online calculation of integrals, allows to integrate in small steps (includes also hints for next step which cover techniques like by parts, substitution, partial fractions, application of formulas and others, powered by Maxima (software))
• Berkenaan persamaan kamiran rantau Diarkibkan 2010-04-04 di Wayback Machine

Buku dalam talian

• Keisler, H. Jerome, Elementary Calculus: An Approach Using Infinitesimals, University of Wisconsin
• Stroyan, K.D., A Brief Introduction to Infinitesimal Calculus Diarkibkan 2005-09-11 di Wayback Machine, University of Iowa
• Mauch, Sean, Sean's Applied Math Book Diarkibkan 2006-04-15 di Wayback Machine, CIT, an online textbook that includes a complete introduction to calculus
• Crowell, Benjamin, Calculus, Fullerton College, an online textbook
• Garrett, Paul, Notes on First-Year Calculus
• Hussain, Faraz, Understanding Calculus, an online textbook
• Kowalk, W.P., Integration Theory, University of Oldenburg. A new concept to an old problem. Online textbook
• Sloughter, Dan, Difference Equations to Differential Equations, an introduction to calculus
• Numerical Methods of Integration at Holistic Numerical Methods Institute
• P.S. Wang, Evaluation of Definite Integrals by Symbolic Manipulation (1972) - a cookbook of definite integral techniques