Set

Dalam matematik, set ialah konsep bagi sekumpulan benda. Kajian mendalam tentang set diteruskan lagi dalam bidang teori set.

Pembinaan

Set boleh dibentuk dengan tatatanda ${\displaystyle \{...\}}$. Sebagai contoh, berikut ialah set warna primer ${\displaystyle W}$:

${\displaystyle W=\{merah,hijau,biru\}}$

Keahlian

Setiap objek yang terdapat dalam sesebuah set ialah ahli atau unsur bagi set itu. Sebagai contoh, ${\displaystyle 1}$ ialah unsur bagi set ${\displaystyle \{1,2,3,4\}}$.

Hubungan keahlian boleh ditulis dengan lambang ${\displaystyle \in }$. Kenyataan

${\displaystyle x\in A}$

bermaksud ${\displaystyle x}$ ialah unsur ${\displaystyle A}$. Penafian keahlian boleh ditulis dengan lambang ${\displaystyle \notin }$.

Set juga merupakan suatu objek matematik. Oleh itu, set boleh dijadikan unsur bagi set lain. Sebagai contoh, ${\displaystyle \{\{1\}\}}$ ialah sebuah set yang mengandungi satu unsur ${\displaystyle \{1\}}$, yang pula merupakan set dengan satu unsur ${\displaystyle 1}$. Dalam kata lain, ${\displaystyle 1\in \{1\}\in \{\{1\}\}}$.

Subset

Subset ialah set yang semua nilai kandungannya terdapat dalam set yang lain. Sebagai contoh, set ${\displaystyle A=\{x,y,z\}}$ ialah subset kepada ${\displaystyle B=\{x,y,z,1,2,3\}}$. Atau secara matematik, ia ditulis ${\displaystyle A\subseteq B}$. Sama juga, ${\displaystyle B\supseteq A}$, tetapi kali ini ia dibaca "${\displaystyle B}$ ialah superset bagi ${\displaystyle A}$" berbanding sebelumnya, "${\displaystyle A}$ ialah subset bagi ${\displaystyle B}$".

Secara formal, ${\displaystyle A\subseteq B\leftrightarrow \forall (x\in A\to x\in B)}$, atau, dengan menggunakan set kuasa, ${\displaystyle A\subseteq B\leftrightarrow A\in {\mathcal {P}}(B)}$.

Konsep subset boleh digunakan untuk menentukan kesamaan set. Suatu set A adalah sama dengan suatu set B jika set A ialah subset B dan B ialah subset A. Dalam simbol,

${\displaystyle A=B\leftrightarrow A\subseteq B\land B\subseteq A}$

Operasi

Terdapat beberapa operasi yang boleh dikendalikan pada set.

Kesatuan bagi set A dan set B ialah set bagi semua unsur bagi A dan semua unsur bagi B. Secara formal,

${\displaystyle A\cup B=\{x:x\in A\lor x\in B)\}}$

Persilangan bagi set A dan set B ialah set bagi semua unsur yang terdapat dalam kedua-dua A dan B. Secara formal,

${\displaystyle A\cap B=\{x:x\in A\land x\in B\}}$

Pelengkap bagi set B dalam set A ialah set bagi semua unsur bagi A tetapi tidak mengandungi sebarang unsur bagi B. Secara formal,

${\displaystyle A\setminus B=\{x:x\in A\land x\notin B\}}$

Hasil darab Descartes bagi set A dan set B ialah set bagi semua pasangan unsur bagi A dan unsur bagi B. Secara formal,

${\displaystyle A\times B=\{\langle x,y\rangle :x\in A\land y\in B\}}$

Kesatuan tak bercantum bagi set A dan set B ialah set gabungan semua unsur bagi A dan B, yang mengekalkan keahlian setiap unsur bagi set-set asal. Secara formal,

${\displaystyle A+B=(\{0\}\times A)\cup (\{1\}\times B)}$

Set khas

Terdapat beberapa set khas yang sering digunakan dalam matematik. Kesemua set ini ditulis dengan cara 'tebal papan hitam':

${\displaystyle \mathbb {P} }$

Set bagi semua nombor perdana.

${\displaystyle \mathbb {N} }$

Set bagi semua nombor asli. Iaitu, ${\displaystyle \mathbb {N} =\{0,1,2,3,...\}}$ atau ${\displaystyle \mathbb {N} =\{1,2,3,...\}}$.

${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Set bagi semua integer. Iaitu, ${\displaystyle \mathbb {Z} =\{...,-2,-1,0,1,2,...\}}$.

${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Set bagi semua nombor nisbah. Iaitu, ${\displaystyle \mathbb {Q} =\{a/b:a,b\in \mathbb {Z} \land b\neq 0\}}$.

${\displaystyle \mathbb {R} }$

Set bagi semua nombor nyata.

${\displaystyle \mathbb {C} }$

Set bagi semua nombor kompleks.

Kesemua set di atas mempunyai bilangan unsur yang tidak terhingga. Namun begitu, saiz bagi mana-mana set khas ini boleh dibandingkan dengan ukuran kekardinalan. Nombor kardinal bagi set nombor asli, contohnya, ialah ${\displaystyle \aleph _{0}}$ (alef-nol). Teori mengenai kekardinalan ini dikemukakan oleh Georg Cantor.

Lihat juga

• Glosari teori set

Pautan luar

• Keterangan di Wolfram Mathworld
• Keterangan di PlanetMath