Tembereng garis

Definisi geometri sebuah tembereng garis.
Gambar bersejarah– Melukis sebuah ruas garisan (1699)

Dalam geometri, tembereng garis atau ruas garis merupakan sebahagian daripada garis yang terhad oleh dua titik hujung yang berbeza, dan memuatkan semua titik pada garis di antara hujung-hujungnya. Contoh ruas garisan tamsilnya sisi segi tiga atau sisi persegi. Lebih umumnya, ketika titik-titik hujung adalah verteks suatu poligon, maka tembereng garis adalah sisi (poligon tersebut); jika mereka merupakan verteks-verteks yang bertetanggaan, atau diagonal. Ketika titik-titik hujung terletak pada sebuah lengkung, tamsilnya lingkaran, maka tembereng garis itu disebut tali busur (lengkung tersebut).

Dalam ruang vektor sebenar atau kompleks

Jika V adalah sebuah ruang vektor pada R {\displaystyle \mathbb {R} } atau C {\displaystyle \mathbb {C} } , dan L adalah himpunan sebahagian dari V, maka L adalah tembereng garis jika L dapat diparametrisasi sebagai

L = { u + t v ∣ t ∈ [ 0 , 1 ] } {\displaystyle L=\{\mathbf {u} +t\mathbf {v} \mid t\in [0,1]\}}

untuk suatu vektor u , v ∈ V {\displaystyle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \in V\,\!} , di mana hal vektor u dan u + v disebut titik-titik ujung L.

Kadangkala seseorang perlu membezakan antara ruas garisan "terbuka" dan "tertutup". Maka orang tersebut mendefinisikan tembereng garis tertutup seperti di atas, dan tembereng garis terbuka sebagai suatu himpunan bahagian L yang dapat diparametrisasi sebagai

L = { u + t v ∣ t ∈ ( 0 , 1 ) } {\displaystyle L=\{\mathbf {u} +t\mathbf {v} \mid t\in (0,1)\}}

untuk suatu vektor u , v ∈ V {\displaystyle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \in V\,\!} .

Secara ekivalen, tembereng garis adalah convex hull dari dua titik. Dengan demikian, tembereng garis tersebut dapat diberikan sebagai kombinasi lengkung suatu tembereng yang mempunyai dua titik hujung.

Dalam geometri, tembereng garis kadangkala didefinisikan bahawa sebuah titik B terletak di antara titik A dan C, jika jarak AB dijumlahkan dengan jarak BC sama dengan jarak AC. Dengan demikian persamaan suatu tembereng garis dengan titik-titik hujung A = (ax, ay) dan C = (cx, cy) adalah

( x − c x ) 2 + ( y − c y ) 2 + ( x − a x ) 2 + ( y − a y ) 2 = ( c x − a x ) 2 + ( c y − a y ) 2 . {\displaystyle {\sqrt {(x-c_{x})^{2}+(y-c_{y})^{2}}}+{\sqrt {(x-a_{x})^{2}+(y-a_{y})^{2}}}={\sqrt {(c_{x}-a_{x})^{2}+(c_{y}-a_{y})^{2}}}.}

Sifat

  • Tembereng garis adalah sebuah himpunan tidak kosong terhubung.
  • Jika V adalah sebuah ruang vektor topologi, maka tembereng garis tertutup adalah sebuah himpunan tertutup pada V. Tetapi, tembereng garis terbuka adalah sebuah ruang terbuka pada V jika dan hanya jika V berdimensi-satu.
  • Lebih umumnya, konsep tembereng garis dapat didefinisi dalam geometri terurut.

Dalam pembuktian

Dalam sebuah perlakuan aksiomatis geometri, gagasan keantaraan dianggap memenuhi sejumlah tertentu aksioma, atau jika tidak demikian maka didefinisikan dalam suku-suku isometri sebuah garis (digunakan sebagai sebuah sistem koordinat).

Tembereng memainkan peranan penting dalam teori-teori lainnya. Tamsilnya, himpunan dikatakan konveks jika ruas yang menghubungkan sebarang dua titik suatu himpunan adalah termuat dalam himpunan itu. Hal ini penting kerana ruas mengubah beberapa analisis himpunan konveks kepada analisis tembereng garis.

Sebagai elips degenerat

Tembereng garis dapat dilihat sebagai hirisan kerucut degenerat suatu elips di mana sumbu semi-minor menuju nol, fokus-fokusnya menuju titik-titik hujung, dan eksentrisitasnya menuju satu. Sebagai sebuah orbit degenerat, tembereng garis adalah sebuah trajektori eliptik radial.

Lihat juga

  • Garis (geometri)

Rujukan

  • David Hilbert: The Foundations of Geometry. The Open Court Publishing Company 1950, p. 4

Pautan luar

  • Temgereng garis di PlanetMath
  • Definisi tembereng garis dengan animasi interaktif
  • Menyalin sebuah tembereng garis dengan kompas dan straightedge
  • Membagi tembereng garis ke dalam N bagian yang sama panjang dengan kompas dan straightedge - peragaan animasi