De bètafunctie van Euler is een speciale functie in de wiskunde, die gedefinieerd is als
![{\displaystyle B(x,y)=\int _{0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,{\rm {d}}t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0b2346487bca7fa7fb7455085f652e2ddb82fd2)
voor complexe getallen
en
waarvan het reële deel groter is dan 0. Deze functie is symmetrisch in
en
, wat wil zeggen dat
.
De bètafunctie is gerelateerd aan de gammafunctie; er geldt
![{\displaystyle B(x,y)={\frac {\Gamma (x)\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c219c1e51d7480aeddee59965737932f3fde8127)
De bètafunctie kan op veel andere manieren geschreven worden:
![{\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=2\int _{0}^{\pi /2}(\sin \theta )^{2x-1}(\cos \theta )^{2y-1}\,{\rm {d}}\theta ,\quad ({\rm {Re}}(x)>0,\,{\rm {Re}}(y)>0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c3df04f0610125b00f3f7c973b40e854bd68253)
![{\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{x-1}}{(1+t)^{x+y}}}\,{\rm {d}}t\qquad ({\rm {Re}}(x)>0,\ {\rm {Re}}(y)>0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0cef7376772f5072f08bce6d404e4d5fecb2f56f)
![{\displaystyle \mathrm {B} (x,y)={\frac {1}{y}}\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {y^{n+1}}{n!(x+n)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8d1658f4266871ac308ac5718e51439a5e9cdd7)
![{\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {n-y \choose n}{x+n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7733435c7c7a6b6915ba2583ef53e56b4d91792e)
![{\displaystyle \mathrm {B} (x,y)={\frac {x+y}{xy}}\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1+{\frac {x+y}{n}}}{(1+{\frac {x}{n}})(1+{\frac {y}{n}})}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3f743840000139b5e851a642abecdb171495120)
Gelijkheden
![{\displaystyle \mathrm {B} (x,y)\cdot \mathrm {B} (x+y,1-y)={\frac {\pi }{x\sin(\pi y)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d076c4f7b1ea7ff615472f671f8c36a7d6281a0)
Er is een goniometrische vorm van de Bètafunctie:
![{\displaystyle B(x,y)=2\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\ {(\sin t)^{2x-1}(\cos t)^{2y-1}}\,\mathrm {d} t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b6216d91b58091ac86790a0ff07ae305f508b42)
Externe links