Spesifikk baneenergi

Den spesifikke baneenergien ${\displaystyle \epsilon }$ spiller en viktig rolle i himmelmekanikk for å løse tolegemeproblemet. Man kan vise at størrelsen er konstant for en gitt bane under ideale forhold. Her gjelder altså også at summen av kinetisk energi og potensiell energi bevares

${\displaystyle \epsilon ={\frac {v^{2}}{2}}-{\frac {\mu }{r}}=const.}$

Vis man forsetter ideen, kommer man til Vis-Viva ligningen, en fundamental ligning i himmelmekanikk.

Navnet spesifikk baneergi kommer fra at man ikke ser på den egentlige energien ${\displaystyle E}$, men på energien per masse

${\displaystyle \epsilon ={\frac {E}{m}}}$

Det betyr at SI-enhet er: m²·s⁻². ${\displaystyle m}$ betegner her den reduserte massen ${\displaystyle {\frac {1}{m}}={\frac {1}{m_{1}}}+{\frac {1}{m_{2}}}}$.

Kraver

Det som følger trenger noen forenklende kraver som også gjelder for Newtons gravitasjonsteori.

Man ser på to punktformede masser ${\displaystyle m_{1}}$ og ${\displaystyle m_{2}}$ som er i avstand ${\displaystyle r}$ fra hverandre. Tyngdekraften ${\displaystyle {\vec {F}}=G{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}{\frac {\vec {r}}{r}}}$ virker uten forsinkelse og over hvilken som helst distanse og er den eneste kraften. Koordinatsystemet er inersial.

Nå antar man at ${\displaystyle m_{1}\gg m_{2}}$. Det betyr at ${\displaystyle m_{1}}$ er sentrallegemet i origo, og at ${\displaystyle m_{2}}$ er satellitten som går rundt den. Den reduserte massen er nå lik ${\displaystyle m_{2}}$ og tolegemeproblemets ligning er

${\displaystyle {\ddot {\vec {r}}}=-{\frac {\mu }{r^{2}}}{\frac {\vec {r}}{r}}}$

med «gravitasjonsparameteren» ${\displaystyle \mu =Gm_{1}}$ og avstandsvektor ${\displaystyle {\vec {r}}}$ (lengden er ${\displaystyle r}$) som peker fra origo (sentrallegemet) til satellitten fordi ${\displaystyle m_{1}\gg m_{2}}$.^{[Fotnoter 1]}

Det er viktig å ikke forveksle gravitasjonsparameteren ${\displaystyle \mu }$ med den reduserte massen som blir ofte betegnet med den samme bokstaven ${\displaystyle \mu }$.

Spesifikk baneenergi

Man får den spesifikke baneenergien når man multipliserer (skalarprodukt) tolegemeproblemets ligning med hastighetsvektoren ${\displaystyle {\vec {v}}}$

${\displaystyle {\vec {v}}\cdot {\ddot {\vec {r}}}=-{\vec {v}}\cdot {\frac {\mu }{r^{2}}}{\frac {\vec {r}}{r}}}$

Fra bildet til høyre får man

• ${\displaystyle {\ddot {\vec {r}}}={\dot {\vec {v}}}}$
• ${\displaystyle v\cos({\frac {\pi }{2}}-\theta )={\dot {r}}}$ (Endringen i den radiale komponenten til ${\displaystyle {\vec {r}}}$, ikke lengden ${\displaystyle v}$ av ${\displaystyle {\vec {v}}}$)
• ${\displaystyle {\vec {r}}\cdot {\vec {v}}=rv\cos({\frac {\pi }{2}}-\theta )=r{\dot {r}}}$

de følgende differnsialene gjelder

• ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ({\frac {v^{2}}{2}})}{\mathrm {d} t}}=v{\dot {v}}}$
• ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} (-{\frac {\mu }{r}})}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mu }{r^{2}}}{\dot {r}}}$

og altså

${\displaystyle v{\dot {v}}+{\dot {r}}{\frac {\mu }{r^{3}}}r={\frac {\mathrm {d} ({\frac {v^{2}}{2}})}{\mathrm {d} t}}+{\frac {\mathrm {d} (-{\frac {\mu }{r}})}{\mathrm {d} t}}=0}$

Det betyr at denne summen er konstant (blir bevart). Og dette er akkurat energien per masse til satelliten, man gjenkjenner den kinetiske energien per masse ${\displaystyle {\tfrac {v^{2}}{2}}}$ og den potensielle energien per masse på grunn av gravitasjon ${\displaystyle -{\tfrac {\mu }{r}}}$ ^{[Referanser 1]}

${\displaystyle \epsilon ={\frac {v^{2}}{2}}-{\frac {\mu }{r}}+c=const.}$

med integrasjonskonstanten ${\displaystyle c}$ som kan velges i forhol til når ${\displaystyle \epsilon =0}$ skal være. Vanligvis velger man ${\displaystyle c=0}$.^{[Referanser 1]}

I ord betyr ligningen at baneernegien blir større jo lengre satelliten er fra sentrallegemet og jo raskere den beveger seg. Valget ${\displaystyle c=0}$ betyr at energien er negativ når det lille legemet står i ro på overflaten til det større legemet eller når bane er lukket. Energien blir positiv når satellitten flykter ut av gravitasjonsfeltet.

Vis-Viva ligning

Ligningen lengre opp kan omskrives til den tradisjonelle fromen av Vis-Viva ligningen. Det er nok å se på den spesifikke energien i et punkt av omløpsbanen (energien er konstant), f. eks. på periapsen. Med det spesifikke relative drivmomentet ${\displaystyle h}$ blir hastigheten

${\displaystyle v_{p}={\frac {h}{r_{p}}}}$

For Keplerbaner gjelder i tillegg

• ${\displaystyle h={\sqrt {\mu p}}={\sqrt {\mu a(1-e^{2})}}}$
• ${\displaystyle r_{p}=a(1-e)}$

Til sammen blir den spesifikke baneenergien, med unntak av parabelen der ${\displaystyle e=1}$:

${\displaystyle \epsilon ={\frac {v_{p}^{2}}{2}}-{\frac {\mu }{r_{p}}}={\frac {\mu a(1-e^{2})}{2a^{2}(1-e)^{2}}}-{\frac {\mu }{a(1-e)}}=-{\frac {\mu }{2a}}}$

Noen elementare omsrkivelser gir den tradisjonelle fromen av Vis-Viva ligningen ^{[Referanser 2]}

${\displaystyle v^{2}=\mu \left({\frac {2}{r}}-{\frac {1}{a}}\right)}$

Den viktige sammenhengen ${\displaystyle \epsilon =-{\tfrac {\mu }{2a}}}$ sier at energien til satellitten er bare avhengig av gravitasjonsparameteren til sentrallegemet og den store halvaksen til banen.

Dette gjelder for elliptiske baner: ${\displaystyle a>0}$, ${\displaystyle \epsilon <0}$ som også inneholder sirkelen som spesialtilfellet med ${\displaystyle a=r}$; og for hyperboliske baner: ${\displaystyle a<0}$, ${\displaystyle \epsilon >0}$. For grensetilfellet paraboliske bane er den spesifike baneenergien 0. Da befinner seg satellitten presist på grensen mellom fengslet i gravitasjonsfeltet til sentrallegemet og flykt fra gravitasjonsfeltet til sentrallegemet.

Eksempler

Banehøyden, den tangensielle hastigheten, omløpsetiden og den spesifikke baneenergien til noen baner rundt Jorden

Omløpsbane	Avstand fra sentrum til sentrum	Høyden over Jordens overflate über der Erdoberfläche	Omløpshastighet	Omløpstid	Spesifik baneenergi
Stå på jordens overflate på ekvator (Sammenligningsverdi, ingen omløpsbane)	6 378 km	0 km	465,1 m/s	1 døgn (24h)	−62,6 MJ/kg
Omløpsbane på høyden av overflaten (ekvator)	6 378 km	0 km	7.9 km/s	1 h 24 min 18 sec	−31,2 MJ/kg
Lav omløpsbane	6 600 til 8 400 km	200 til 2000 km	Sirkel: 6,9 til 7,8 km/s Ellipse: 6,5 til 8,2 km/s	1 h 29 min til 2 h 8 min	−29,8 MJ/kg
Molniya-Bane	6 900 til 46 300 km	500 til 39 900 km	1,5 til 10,0 km/s	11 h 58 min	−4,7 MJ/kg
Geostasjonær bane	42 000 km	35 786 km	3,1 km/s	23 h 56 min	−4,6 MJ/kg
Månens bane	363 000 til 406 000 km	357 000 til 399 000 km	0,97 til 1,08 km/s	27,3 døgn	−0,5 MJ/kg

Se også

• Spesifikk relativ drivmoment, en annen størrelse som bevares i tolegemeproblemet.

Fotnoter

Referanser