Π-układ

π-układ – rodzina zbiorów zamknięta na branie skończonych przekrojów. Formalnie: rodzina zbiorów ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ jest π-układem wtedy i tylko wtedy, gdy^[1]:

${\displaystyle A,B\in {\mathcal {H}}\implies A\cap B\in {\mathcal {H}}.}$

Takie rodziny stosuje się przede wszystkim w teoriach mnogości, miary i prawdopodobieństwa.

Przykłady

• Dowolna σ-algebra jest π-układem.
• Rodzina wszystkich podzbiorów otwartych przestrzeni topologicznej stanowi π-układ.
• Rodziny przedziałów ${\displaystyle \{(-\infty ,a]:a\in \mathbb {R} \}}$ oraz ${\displaystyle \{(a,b]:a,b\in \mathbb {R} \}\cup \{\emptyset \}}$ stanowią π-układy podzbiorów prostej rzeczywistej ${\displaystyle \mathbb {R} .}$
• Jeśli ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{1}}$ jest π-układem podzbiorów ${\displaystyle \Omega _{1},}$ a ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{2}}$ jest π-układem podzbiorów ${\displaystyle \Omega _{2},}$ to ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{1}\otimes {\mathcal {H}}_{2}=\{A_{1}\times A_{2}:A_{1}\in {\mathcal {H}}_{1},A_{2}\in {\mathcal {H}}_{2}\}}$ jest π-układem podzbiorów produktu kartezjańskiego ${\displaystyle \Omega _{1}\times \Omega _{2}.}$

Zobacz też

• klasa monotoniczna
• lemat o π- i λ-układach

Przypisy