Baza Schaudera

Baza Schaudera – ciąg ${\displaystyle (x_{n})}$ elementów przestrzeni Banacha ${\displaystyle X}$ o tej własności, że dla każdego elementu ${\displaystyle x}$ przestrzeni ${\displaystyle X}$ istnieje dokładnie jeden taki ciąg skalarów ${\displaystyle (a_{n}),}$ że

${\displaystyle x=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}x_{n},}$

przy czym powyższy szereg zbieżny jest w sensie normy przestrzeni ${\displaystyle X}$ (mocna zbieżność). Nie każda przestrzeń Banacha ma bazę Schaudera – Per Enflo podał przykład ośrodkowej przestrzeni Banacha, która nie ma bazy Schaudera^[1]. Nazwa pojęcia pochodzi od nazwiska polskiego matematyka, Juliusza Schaudera, który podał konstrukcję bazy przestrzeni ${\displaystyle C[0,1]}$ funkcji ciągłych na przedziale jednostkowym.

Własności

Niech ${\displaystyle X}$ będzie przestrzenią Banacha z bazą Schaudera ${\displaystyle (x_{n})_{n=1,2,3,\dots }.}$ Jeżeli ${\displaystyle x=\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}x_{n},}$ to funkcjonał

${\displaystyle \||x\||=\sup \left\{\sum _{k=1}^{n}\|a_{k}x_{k}\|:n\in \mathbb {N} \right\}}$

jest normą oraz ${\displaystyle \|x\|\leqslant |\!\|x|\!\|.}$ Można udowodnić, że norma ta jest zupełna oraz, na mocy twierdzenia o odwzorowaniu otwartym, równoważna wyjściowej normie przestrzeni ${\displaystyle X.}$

Kryterium Grünbauma

Niech ${\displaystyle X}$ będzie przestrzenią Banacha. Ciąg ${\displaystyle (x_{n})_{n=1,2,3,\dots }}$ punktów p. ${\displaystyle X}$ jest bazą Schaudera wtedy i tylko wtedy, gdy

1. ${\displaystyle x_{n}\neq 0,\,n\in \mathbb {N} ,}$
2. ${\displaystyle {\overline {\mbox{lin}}}\{x_{n}:n\in \mathbb {N} \}=X,}$
3. istnieje taka liczba ${\displaystyle K>0,}$ że dla każdego ciągu skalarów ${\displaystyle (a_{n})_{n=1,2,3,\dots }}$ oraz dla każdych takich liczb naturalnych ${\displaystyle n}$ i ${\displaystyle m,}$ że ${\displaystyle n<m}$ spełniona jest nierówność

${\displaystyle \left\|\sum _{k=1}^{n}a_{k}x_{k}\right\|\leqslant K\left\|\sum _{k=1}^{m}a_{k}x_{k}\right\|.}$

Przykłady

• Ciąg ${\displaystyle (e_{n})_{n=1,2,3,\dots },}$ gdzie ${\displaystyle e_{n}(n)=1}$ oraz ${\displaystyle e_{n}(m)=0}$ dla ${\displaystyle m\neq n}$ jest bazą Schaudera (nazywaną często bazą kanoniczną) dla przestrzeni c₀, ℓ_p oraz przestrzeni Jamesa ${\displaystyle J_{p}}$ przy ${\displaystyle 1\leqslant p<\infty }$ (przestrzeń ${\displaystyle J_{p}}$ jest izomorficzna z ${\displaystyle \ell _{p}}$ wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle p=1}$). Ciąg ${\displaystyle (e_{n})_{n=0,1,2,\dots },}$ gdzie ${\displaystyle e_{0}=(1,1,1,\dots ),}$ stanowi bazę Schaudera przestrzeni c.
• Jeżeli ${\displaystyle X}$ jest ośrodkową przestrzenią Hilberta, to jej baza ortonormalna jest również jej bazą Schaudera.
• Twierdzenie Schaudera: układ Haara jest bazą Schaudera przestrzeni L_p dla ${\displaystyle 1\leqslant p<\infty .}$
• Twierdzenie Schaudera: układ Schaudera w przedziale ${\displaystyle [a,b]}$ stanowi bazę Schaudera przestrzeni ${\displaystyle C[a,b].}$

Rodzaje baz Schaudera

Bazy Schaudera mogą mieć dodatkowe własności, które w pewnym stopniu opisują geometrię rozważanej przestrzeni Banacha. Niech ${\displaystyle (e_{n})}$ będzie bazą Schaudera przestrzeni Banacha ${\displaystyle E.}$ Baza ta jest nazywana

• ściągającą (ang. shrinking), gdy układ funkcjonałów ${\displaystyle (e_{n}^{*})}$ stowarzyszonych z tą bazą jest bazą Schaudera przestrzeni sprzężonej ${\displaystyle E^{*};}$
• ograniczenie zupełną (ang. boundedly complete), gdy dla każdego ciągu skalarów ${\displaystyle (a_{n}),}$ dla którego istnieje taka stała ${\displaystyle M>0,}$ iż ${\displaystyle \|\textstyle \sum _{k=1}^{n}a_{n}{\big \|}<M}$ dla każdej liczby naturalnej ${\displaystyle n}$ szereg ${\displaystyle \textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}e_{n}}$ jest zbieżny w ${\displaystyle E;}$
• bezwarunkową (ang. unconditional), gdy każdy szereg zbieżny ${\displaystyle \textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}e_{n}}$ jest bezwarunkowo zbieżny.

Każda przestrzeń Banacha mająca bazę ograniczenie zupełną jest izomorficzna z przestrzenią sprzężoną pewnej przestrzeni Banacha. Przykładami baz bezwarunkowych są kanoniczne bazy ${\displaystyle (e_{n})}$ przestrzeni ${\displaystyle c_{0}}$ i ${\displaystyle \ell _{p}(1\leqslant p<\infty ).}$ Jeżeli ${\displaystyle K}$ jest taką zwartą przestrzenią metryczną, że ${\displaystyle C(K)}$ nie jest izomorficzne z ${\displaystyle c_{0},}$ to ${\displaystyle C(K)}$ nie ma bazy bezwarunkowej.

Każda przestrzeń Banacha z bazą Schaudera jest ośrodkowa, przy czym ośrodkiem jest zbiór wszystkich kombinacji liniowych elementów bazy Schaudera o współczynnikach wymiernych.

W.B. Johnson i H.P. Rosenthal udowodnili, że każda ośrodkowa przestrzeń Banacha ${\displaystyle X}$ zawiera taką podprzestrzeń ${\displaystyle Y,}$ że przestrzeń ilorazowa ${\displaystyle X/Y}$ ma bazę Schaudera^[2].

Układy biortogonalne

Niech ${\displaystyle X}$ będzie przestrzenią Banacha z bazą Schaudera ${\displaystyle (x_{n}).}$ Dla każdej liczby naturalnej ${\displaystyle n,}$ funkcjonał liniowy ${\displaystyle x_{n}^{*}}$ określony wzorem

${\displaystyle \left\langle x_{n}^{*},\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}x_{n}\right\rangle =a_{n}}$

jest ograniczony (ciągły). Dokładniej, funkcjonały ${\displaystyle x_{n}^{*}}$ spełniają warunek

${\displaystyle \langle x_{n}^{*},x_{m}\rangle =\delta _{nm}}$

(zob. symbol Kroneckera). Ciąg funkcjonałów tej postaci, tzn. ciąg ${\displaystyle (x_{n}^{*})}$ nazywany jest ciągiem biortogonalnym (stowarzyszonym z bazą ${\displaystyle (x_{n})}$). Układ ${\displaystyle (x_{n},x_{n}^{*})}$ jest układem biortogonalnym w przestrzeni ${\displaystyle X.}$ Układy tego rodzaju znajdują szerokie zastosowanie głównie w teorii nieośrodkowych przestrzeni Banacha.

Przypisy

Bibliografia

• M.M. Day, Normed linear spaces, Springer-Verlag, 1962.
• JoramJ. Lindenstrauss JoramJ., LiorL. Tzafriri LiorL., Classical Banach Spaces I and II: Sequence Spaces; Function Spaces, Berlin [etc.]: Springer, 1996, ISBN 3-540-60628-9, OCLC 835840252 . Brak numerów stron w książce
• J. Musielak, Wstęp do analizy funkcjonalnej, PWN, Warszawa 1989, s. 125–131.