Wykres funkcji gamma Czy istnieją inne funkcje niż funkcja gamma, które interpolują funkcję silnia dla dowolnych liczb rzeczywistych? Funkcja gamma (zwana też funkcją gamma Eulera) – funkcja specjalna, która rozszerza pojęcie silni[1]
Definicje Całkowa Jeżeli x {\displaystyle x} z = x + i y {\displaystyle z=x+iy}
Γ ( z ) = ∫ 0 + ∞ t z − 1 e − t d t , x > 0 {\displaystyle \Gamma (z)=\int \limits _{0}^{+\infty }t^{z-1}\,e^{-t}\,dt,\quad x>0} – tzw. całka Eulera 2 rodzaju (całka Eulera 1 rodzaju – to funkcja Beta) Iloczynowa Dla dowolnych liczb zespolonych z = x + i y {\displaystyle z=x+iy}
Γ ( z ) = lim n → + ∞ n ! n z z ( z + 1 ) ( z + 2 ) … ( z + n ) = 1 z ∏ n = 1 ∞ ( 1 + 1 n ) z 1 + z n . {\displaystyle \Gamma (z)=\lim _{n\to +\infty }{\frac {n!n^{z}}{z(z+1)(z+2)\dots (z+n)}}={\frac {1}{z}}\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{z}}{1+{\frac {z}{n}}}}.} Motywacja Funkcja gamma może być postrzegana jako rozwiązanie następującego problemu interpolacji:
„Znajdź gładką krzywą, która łączy punkty ( x , y ) {\displaystyle (x,y)} y = ( x − 1 ) ! , {\displaystyle y=(x-1)!,} x {\displaystyle x} Wzór x ! = 1 ⋅ 2 … x {\displaystyle x!=1\cdot 2\dots x} x , {\displaystyle x,} x {\displaystyle x}
Funkcja gamma jest dobrym rozwiązaniem, jednak nie jest to jedyne rozwiązanie: istnieje bowiem nieskończenie wiele ciągłych rozszerzeń funkcji silnia na liczby niecałkowite, gdyż przez zbiór izolowanych punktów (jaki tworzy wykres funkcji silnia) można narysować nieskończenie wiele różnych krzywych.
Funkcja gamma jest najbardziej użytecznym rozwiązaniem w praktyce, ponieważ jest funkcją analityczną (z wyjątkiem niedodatnich liczb całkowitych ) i można ją zdefiniować na kilka równoważnych sposobów.
Nie jest to także jedyna funkcja analityczna, która rozszerza silnię, ponieważ dodanie do niej dowolnej funkcji analitycznej, która zeruje się dla dodatnich liczb całkowitych, takich jak k sin ( m π x ) , {\displaystyle {\text{k sin}}(m\pi x),} m {\displaystyle m} funkcjami pseudogamma . Najbardziej znaną jest funkcja Hadamarda(inne języki) .
Własności funkcji Gamma Dwa dobre uogólnienia analityczne funkcji silnia na zbiór liczb rzeczywistych: funkcja Γ ( z ) {\displaystyle \Gamma (z)} Γ ( z ) + s i n ( π ⋅ z ) {\displaystyle \Gamma (z)+sin(\pi \cdot z)} Tw. Funkcja gamma nie ma miejsc zerowych (por. wykres)
Tw. Γ ( 1 ) = 1 {\displaystyle \Gamma (1)=1}
Tw. Γ ( n + 1 ) = n ! dla n ∈ N {\displaystyle \Gamma (n+1)=n!\quad {\text{dla}}\quad n\in N} ,
gdzie N {\displaystyle N}
tzn. funkcja gamma ma wartości identyczne jak silnia dla liczb naturalnych.
Tw. Dla n ∈ N {\displaystyle n\in N}
Γ ( n + 1 2 ) = ( 2 n − 1 ) ! ! 2 n π {\displaystyle \Gamma \left(n+{\frac {1}{2}}\right)={\frac {(2n-1)!!}{2^{n}}}{\sqrt {\pi }}} Γ ( n + 1 / p ) = Γ ( 1 / p ) ( p n − ( p − 1 ) ) ! ( p ) p n {\displaystyle \Gamma (n+1/p)=\Gamma (1/p){\frac {(pn-(p-1))!^{(p)}}{p^{n}}}} gdzie x ! ( p ) {\displaystyle x!^{(p)}}
Tw. Γ ( z + 1 ) = z ⋅ Γ ( z ) {\displaystyle \Gamma (z+1)=z\cdot \Gamma (z)}
Dowód – metodą całkowania przez części .
Tw. Γ ( z ) ⋅ Γ ( z + 1 2 ) = π 2 2 ⋅ z − 1 ⋅ Γ ( 2 z ) {\displaystyle \Gamma (z)\cdot \Gamma \left(z+{\frac {1}{2}}\right)={\frac {\sqrt {\pi }}{2^{2\cdot z\ -1}}}\cdot \Gamma (2z)}
Tw. Jeżeli mianownik jest niezerowy, to:
Γ ( z ) ⋅ Γ ( 1 − z ) = π sin π z , {\displaystyle \Gamma (z)\cdot \Gamma (1-z)={\frac {\pi }{\sin {\pi z}}},} Γ ( z + 1 2 ) ⋅ Γ ( 1 2 − z ) = π cos π z . {\displaystyle \Gamma \left(z+{\frac {1}{2}}\right)\cdot \Gamma \left({\frac {1}{2}}-z\right)={\frac {\pi }{\cos {\pi z}}}.} Tw. Jeśli − 1 < Re ( z ) < 1 , {\displaystyle -1<\operatorname {Re} (z)<1,}
Γ ( z ) = 1 sin π 2 z ∫ 0 ∞ t z − 1 sin t d t . {\displaystyle \Gamma (z)={\frac {1}{\sin {{\frac {\pi }{2}}z}}}\int _{0}^{\infty }t^{z-1}\sin {t}\,dt.} Tw. Jeśli 0 < Re ( z ) < 1 , {\displaystyle 0<\operatorname {Re} (z)<1,}
Γ ( z ) = 1 cos π 2 z ∫ 0 ∞ t z − 1 cos t d t . {\displaystyle \Gamma (z)={\frac {1}{\cos {{\frac {\pi }{2}}z}}}\int _{0}^{\infty }t^{z-1}\cos {t}\,dt.} Tw. Wzór iloczynowy Gaussa:
Γ ( n z ) = n n z ( 2 π ) n − 1 ⋅ Γ ( z ) ⋅ Γ ( z + 1 n ) ⋅ Γ ( z + 2 n ) ⋅ … ⋅ Γ ( z + n − 1 n ) . {\displaystyle \Gamma (nz)={\frac {n^{nz}}{\sqrt {(2\pi )^{n-1}}}}\cdot \Gamma (z)\cdot \Gamma \left(z+{\frac {1}{n}}\right)\cdot \Gamma \left(z+{\frac {2}{n}}\right)\cdot \ldots \cdot \Gamma \left(z+{\frac {n-1}{n}}\right).} Wybrane wartości funkcji Gamma Tabela wartości funkcji gamma x {\displaystyle x} Γ ( x ) {\displaystyle \Gamma (x)} −2,500 ≈ − 0,945 309 {\displaystyle \approx -0{,}945309} −2 ± ∞ {\displaystyle \pm \infty } −1,500 4 π 3 ≈ 2,363 271801 {\displaystyle {\frac {4{\sqrt {\pi }}}{3}}\approx 2{,}363271801} −1 ± ∞ {\displaystyle \pm \infty } −0,500 − 2 π ≈ − 3,544 907702 {\displaystyle -2{\sqrt {\pi }}\approx -3{,}544907702} 0 ± ∞ {\displaystyle \pm \infty } 0,143 ≈ 6,548 062940 {\displaystyle \approx 6{,}548062940} 0,167 ≈ 5,566 316002 {\displaystyle \approx 5{,}566316002} 0,200 ≈ 4,590 843712 {\displaystyle \approx 4{,}590843712} 0,250 ≈ 3,625 609908 {\displaystyle \approx 3{,}625609908} 0,333 ≈ 2,678 938535 {\displaystyle \approx 2{,}678938535} 0,500 π ≈ 1,772 453851 {\displaystyle {\sqrt {\pi }}\approx 1{,}772453851} 1 0! = 1 x m i n {\displaystyle x_{min}} 0,885 603194 {\displaystyle 0{,}885603194} 1,500 π 2 ≈ 0,886 226925 {\displaystyle {\frac {\sqrt {\pi }}{2}}\approx 0{,}886226925} 2 1! = 1 2,500 3 π 4 ≈ 1,329 340388 {\displaystyle {\frac {3{\sqrt {\pi }}}{4}}\approx 1{,}329340388} 3 2! = 2 3,500 15 π 8 ≈ 3,323 350970 {\displaystyle {\frac {15{\sqrt {\pi }}}{8}}\approx 3{,}323350970} 4 3! = 6
Dla x m i n ≈ 1,461 632145 {\displaystyle x_{min}\approx 1{,}461632145} Γ ( z ) {\displaystyle \Gamma (z)}
Funkcja Γ ( z ) {\displaystyle \Gamma (z)} z = 0 , − 1 , − 2 , … {\displaystyle z=0,-1,-2,\dots } ( − 1 ) z / z ! . {\displaystyle (-1)^{z}/z!.}
Wykres funkcji zespolonej – techniki wizualizacji Wykres funkcji rzeczywistej y = f ( x ) {\displaystyle y=f(x)}
Wykres funkcji zespolonej Γ ( z ) : {\displaystyle \Gamma (z){:}} oś x – części rzeczywiste liczb zespolonych postaci z = x + i y , {\displaystyle z=x+iy,} oś y – części urojone tych liczb, oś z – | Γ ( z ) | , {\displaystyle |\Gamma (z)|,} moduł funkcji gamma ; kolor – zależy od a r g Γ ( z ) , {\displaystyle arg\,\Gamma (z),} argumentu funkcji gamma . Odwrotność funkcji gamma 1 Γ ( z ) = z e γ z ∏ n = 1 ∞ [ ( 1 + z n ) e − z n ] {\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (z)}}=ze^{\gamma z}\prod _{n=1}^{\infty }\left[\left(1+{\frac {z}{n}}\right)e^{-{\frac {z}{n}}}\right]} gdzie γ to stała Eulera-Mascheroniego .
Odwrotność funkcji gamma jest określona na całej płaszczyźnie zespolonej , gdyż funkcja Γ ( z ) {\displaystyle \Gamma (z)} funkcją całkowitą .
Logarytmiczna pochodna funkcji gamma Wykres logarytmicznej pochodnej funkcji gamma Df. Logarytmiczną pochodną funkcji gamma albo funkcją di-gamma nazywa się funkcję postaci
ψ ( z ) = Γ ′ ( z ) Γ ( z ) , {\displaystyle \psi (z)={\frac {\Gamma '(z)}{\Gamma (z)}},} gdzie z ≠ 0 , − 1 , − 2 , … {\displaystyle z\neq 0,-1,-2,\dots }
Tw. ψ ( z ) = − γ + ∑ n = 0 ∞ ( 1 n + 1 − 1 n + z ) , {\displaystyle \psi (z)=-\gamma +\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{n+1}}-{\frac {1}{n+z}}\right),}
gdzie γ {\displaystyle \gamma } stała Eulera-Mascheroniego
Tw. ψ ′ ( z ) = ∑ k = 0 ∞ 1 ( z + k ) 2 . {\displaystyle \psi '(z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{\left(z+k\right)^{2}}}.}
Tw. Dla x >> 1 {\displaystyle x>>1}
ψ ( x ) ≈ ln x − 1 2 x . {\displaystyle \psi (x)\approx \ln x-{\frac {1}{2x}}.} Funkcja poligamma Df. Funkcją poligamma n -tego rzędu nazywamy n + 1 {\displaystyle n+1} ln Γ ( z ) , {\displaystyle \ln \Gamma (z),}
ψ ( n ) ( z ) = d n ψ ( z ) d z n = ( d d z ) n + 1 ln Γ ( z ) , {\displaystyle \psi ^{(n)}(z)={\frac {d^{n}\psi (z)}{dz^{n}}}=\left({\frac {d}{dz}}\right)^{n+1}\ln \Gamma (z),} Wtedy:
ψ ( z ) = ψ ( 0 ) ( z ) . {\displaystyle \psi (z)=\psi ^{(0)}(z).} Df. Funkcją tri-gamma (lub trój-gamma) nazywa się funkcją ψ ( 1 ) . {\displaystyle \psi ^{(1)}.}
Funkcja
ln Γ ( z ) {\displaystyle \ln \Gamma (z)} i kilka pierwszych funkcji poligamma na płaszczyźnie zespolonej
ln Γ ( z ) {\displaystyle \ln \Gamma (z)} ψ ( 0 ) ( z ) {\displaystyle \psi ^{(0)}(z)} (digamma)
ψ ( 1 ) ( z ) {\displaystyle \psi ^{(1)}(z)} (trigamma)
ψ ( 2 ) ( z ) {\displaystyle \psi ^{(2)}(z)} ψ ( 3 ) ( z ) {\displaystyle \psi ^{(3)}(z)} ψ ( 4 ) ( z ) {\displaystyle \psi ^{(4)}(z)}
Zastosowania funkcji gamma Funkcja gamma ma ogromnie liczne zastosowania (sekcja wymaga rozwinięcia )
Na funkcji gamma opiera się symbol Pochhammera [2] Wzór na objętość n-wymiarowej hipersfery : S n = ( 2 ∗ π n / 2 ) / ( Γ ( 1 / 2 n ) ) {\displaystyle S_{n}=(2*\pi ^{n/2})/(\Gamma (1/2n))} [3] Zobacz też Przypisy ↑ Funkcje Eulera , [w:] Encyklopedia PWN [dostęp 2021-07-21] .↑ Eric W. E.W. Weisstein Eric W. E.W. , Pochhammer Symbol , [w:] MathWorld , Wolfram Research [dostęp 2018-01-21] (ang. ) .↑ Eric W. E.W. Weisstein Eric W. E.W. , Hypersphere , [w:] MathWorld , Wolfram Research [dostęp 2018-01-21] (ang. ) . Bibliografia I. N. Bronsztejn, K. A. Siemiendiajew, Poradnik encyklopedyczny. Matematyka , Wydawnictwo Naukowe PWN , Warszawa 2010, s. 192–193. Linki zewnętrzne Eric W. E.W. Weisstein Eric W. E.W. , Gamma Function , [w:] MathWorld , Wolfram Research [dostęp 2020-12-12] (ang. ) .Wykres modułu z funkcji Gamma w zespolonych. mathworks.com. [zarchiwizowane z tego adresu (2009-12-20)]. Kalkulator online:
Kalkulator funkcji gamma online https://keisan.casio.com/exec/system/1180573451 Kalkulator odwrotnej funkcji gamma online https://keisan.casio.com/exec/system/1180573451 Kalkulator funkcji ln gamma online https://keisan.casio.com/exec/system/1180573451 GND : 4289118-8 NDL: 00562231 Britannica : topic/gamma-function Universalis: fonction-gamma 
![{\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (z)}}=ze^{\gamma z}\prod _{n=1}^{\infty }\left[\left(1+{\frac {z}{n}}\right)e^{-{\frac {z}{n}}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/051bf6ca6c8e4594d95ff69c2fe3328a3204a3db)
