Para Wiefericha

Para Wiefericha – w teorii liczb para liczb pierwszych p {\displaystyle p} i q {\displaystyle q} spełniających następujące warunki:

  • p q − 1 ≡ 1 ( mod ⁡ q 2 ) {\displaystyle p^{q-1}\equiv 1(\operatorname {mod} q^{2})} oraz jednocześnie q p − 1 ≡ 1 ( mod ⁡ p 2 ) {\displaystyle q^{p-1}\equiv 1(\operatorname {mod} p^{2})} (gdzie mod oznacza modulo).

lub alternatywnie:

  • q 2 {\displaystyle q^{2}} dzieli p q − 1 − 1 {\displaystyle p^{q-1}-1} oraz jednocześnie p 2 {\displaystyle p^{2}} dzieli q p − 1 − 1. {\displaystyle q^{p-1}-1.}

Określenie para Wiefericha bierze się od nazwiska niemieckiego matematyka Arthura Wiefericha i jest w pewnym stopniu pojęciem analogicznym do pojęcia liczby pierwszej Wiefericha. Jak dotąd (2015) znaleziono zaledwie siedem takich par, mianowicie:

  • (2, 1093), (3, 1006003), (5, 1645333507), (5, 188748146801), (83, 4871), (911, 318917), oraz (2903, 18787)

Pary Wiefericha odgrywają rolę w dowodzie twierdzenia Mihăilescu znanego wcześniej jako hipoteza Catalana.

Bibliografia

  • Bilu, Yuri F. (2004). „Catalan’s conjecture (after Mihăilescu)”. Astérisque 294: vii, 1–26. Zbl 1094.11014.
  • Ernvall, Reijo; Metsänkylä, Tauno (1997). „On the p-divisibility of Fermat quotients”. Math. Comp. 66 (219): 1353–1365. doi:10.1090/S0025-5718-97-00843-0. MR 1408373. Zbl 0903.11002.
  • Steiner, Ray (1998). „Class number bounds and Catalan’s equation”. Math. Comp. 67 (223): 1317–1322. doi:10.1090/S0025-5718-98-00966-1. MR 1468945. Zbl 0897.11009.