Prosta Eulera

Prosta Eulera – dla trójkąta niebędącego trójkątem równobocznym, jest to prosta, która przechodzi przez:

• ortocentrum tego trójkąta (wyznaczone na rysunku przez odcinki niebieskie),
• środek okręgu opisanego (linie zielone),
• środek ciężkości trójkąta (punkt przecięcia jego środkowych – linie pomarańczowe),
• środek okręgu dziewięciu punktów.

Nazwa pochodzi od Leonarda Eulera, który udowodnił, że taka prosta istnieje. Środek okręgu dziewięciu punktów leży w połowie między ortocentrum i środkiem okręgu opisanego a odległość od środka ciężkości trójkąta od środka okręgu opisanego jest jedną trzecią odległości między ortocentrum a środkiem okręgu opisanego.

Dowód

Niech ${\displaystyle A',\ B',\ H'}$ będą obrazami punktów ${\displaystyle A,\ B,\ H}$ w jednokładności o skali ${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$ i środku w punkcie ${\displaystyle C.}$

Wtedy ${\displaystyle 2\cdot A'H'=AH.}$

Czworokąt ${\displaystyle A'OB'H'}$ jest równoległobokiem, więc ${\displaystyle OB'=A'H'.}$

Zatem ${\displaystyle 2\cdot OB'=AH.}$

Środek ciężkości ${\displaystyle G}$ dzieli środkowe w trójkącie w stosunku 2:1, więc ${\displaystyle AG=2\cdot B'G.}$

Ponieważ ${\displaystyle OB'||AH,}$ to ${\displaystyle \angle OB'G=\angle HAG,}$ bo są to kąty naprzemianległe.

Zatem ${\displaystyle \Delta B'OG,}$ jest obrazem ${\displaystyle \Delta AHG}$ w jednokładności o środku w ${\displaystyle G}$ i skali ${\displaystyle -{\frac {1}{2}}.}$

Stąd otrzymujemy, że ${\displaystyle H,\ G,\ O}$ leżą na jednej prostej oraz ${\displaystyle HG=2\cdot GO.}$

Linki zewnętrzne

• ChuongCh. Nguyen ChuongCh., HungH. Nguyen HungH., Pewne uogólnienie prostej Eulera, [w:] pismo „Delta”, deltami.edu.pl, grudzień 2016, ISSN 0137-3005 [dostęp 2022-10-06]  (pol.).
• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Euler Line, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2022-10-06].
• Wysokości trójkąta a prosta Eulera na cut-the-knot (ang.)
• Prosta Eulera a okrąg dziewięciu punktów na cut-the-knot (ang.)