Przekształcenie antyliniowe

Przekształcenie antyliniowe (przekształcenie półliniowe) – rodzaj przekształcenia między zespolonymi przestrzeniami liniowymi.

Definicja

Niech V {\displaystyle V} oraz W {\displaystyle W} będą dowolnymi zespolonymi przestrzeniami liniowymi. Przekształcenie f : V → W {\displaystyle f\colon V\to W} nazywamy przekształceniem antyliniowym (przekształceniem półliniowym), gdy

f ( a x + b y ) = a ¯ f ( x ) + b ¯ f ( y ) {\displaystyle f(ax+by)={\overline {a}}f(x)+{\overline {b}}f(y)}

dla każdego a , b ∈ C {\displaystyle a,b\in \mathbb {C} } oraz x , y ∈ V . {\displaystyle x,y\in V.}

Własności

  • Złożenie dwóch odwzorowań antyliniowych jest zespolonym odwzorowaniem liniowym.
  • Odwzorowanie antyliniowe f : V → W {\displaystyle f\colon V\to W} może być równoważnie opisane jako f ¯ : V → W ¯ , {\displaystyle {\overline {f}}\colon V\to {\overline {W}},} czyli przekształcenie przestrzeni liniowej V {\displaystyle V} w sprzężoną przestrzeń liniową zespoloną W ¯ . {\displaystyle {\overline {W}}.}

Przykład

Niech H 1 , H 2 {\displaystyle H_{1},H_{2}} będą zespolonymi przestrzeniami Hilberta. Jeżeli T 1 , T 2 : H 1 → H 2 {\displaystyle T_{1},T_{2}\colon H_{1}\to H_{2}} są ciągłymi i liniowymi operatorami oraz a , b ∈ C , {\displaystyle a,b\in \mathbb {C} ,} to

( a T 1 + b T 2 ) ⋆ = a ¯ T 1 ⋆ + b ¯ T 2 ⋆ , {\displaystyle (aT_{1}+bT_{2})^{\star }={\overline {a}}T_{1}^{\star }+{\overline {b}}T_{2}^{\star },}

gdzie T i ⋆ {\displaystyle T_{i}^{\star }} jest operatorem sprzężonym z operatorem T i , i ∈ { 1 , 2 } . {\displaystyle T_{i},\;i\in \{1,2\}.} Zatem sprzężenie hermitowskie ciągłych i liniowych operatorów przestrzeni Hilberta jest przekształceniem antyliniowym.

Zobacz też