Punkt Nagela

Punkt Nagela N {\displaystyle N} trójkąta Δ A B C . {\displaystyle \Delta ABC.} Na pomarańczowo zaznaczono okręgi dopisane do trójkąta Δ A B C {\displaystyle \Delta ABC}

Punkt Nagela – punkt w trójkącie związany z okręgami dopisanymi, nazwany od nazwiska Christiana von Nagela, niemieckiego matematyka, który opisał go w 1836 roku[1].

Definicja formalna

Niech dany będzie trójkąt Δ A B C . {\displaystyle \Delta ABC.} Oznaczmy poprzez T A , T B , T C {\displaystyle T_{A},\,T_{B},\,T_{C}} punkty styczności okręgów dopisanych z bokami trójkąta. Punktem Nagela nazywa się wspólne przecięcie odcinków T A A , T B B , T C C {\displaystyle T_{A}A,\,T_{B}B,\,T_{C}C} łączących powyższe punkty styczności z przeciwległymi wierzchołkami trójkąta.

Dowód

Ilustracja obrazująca zależność | A B | + | B T A | = | A C | + | C T A | {\displaystyle |AB|+|BT_{A}|=|AC|+|CT_{A}|} w trójkącie i jego okręgu dopisanym.

Przy pomocy twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Cevy udowodnimy, że proste zawierające odcinki T A A , T B B , T C C {\displaystyle T_{A}A,\,T_{B}B,\,T_{C}C} przecinają się w jednym punkcie[2][1][3].

Z definicji okrąg O A {\displaystyle O_{A}} jest styczny do ramion kąta ∠ B A C . {\displaystyle \angle BAC.} Oznaczmy punkty styczności okręgu O A {\displaystyle O_{A}} z ramionami poprzez X {\displaystyle X} oraz Y . {\displaystyle Y.} Oznacza to, że odcinki A X {\displaystyle AX} i A Y {\displaystyle AY} mają równą długość. Podobnie równej długości są odcinki B X {\displaystyle BX} i B T A {\displaystyle BT_{A}} oraz T A C {\displaystyle T_{A}C} i C Y , {\displaystyle CY,} ponieważ okrąg O A {\displaystyle O_{A}} jest również styczny do ramion kątów ∠ X B T A {\displaystyle \angle XBT_{A}} oraz ∠ T A C Y . {\displaystyle \angle T_{A}CY.} Wywnioskować możemy z tego, że

| A B | + | B T A | = | A C | + | C T A | . {\displaystyle |AB|+|BT_{A}|=|AC|+|CT_{A}|.}
(1a)

Analogicznie wywnioskować możemy, że

| B C | + | C T B | = | B A | + | A T B | {\displaystyle |BC|+|CT_{B}|=|BA|+|AT_{B}|}
(1b)
| C A | + | A T C | = | C B | + | B T C | . {\displaystyle |CA|+|AT_{C}|=|CB|+|BT_{C}|.}
(1c)

Korzystając z wniosków o styczności okręgu i ramion kątów wywnioskować możemy, że lewe i prawe strony każdej z powyższych równości równe są połowie obwodu trójkąta Δ A B C : {\displaystyle \Delta ABC{:}} A B + B C + C A 2 . {\displaystyle {\frac {AB+BC+CA}{2}}.} Łącząc parami strony powyższych równości można je dalej przekształcić do postaci[4]

| B T A | = | A T B | = 1 2 ( A C + C B − B A ) {\displaystyle |BT_{A}|=|AT_{B}|={\frac {1}{2}}(AC+CB-BA)}
(2a)
| A T C | = | C T A | = 1 2 ( A B + C B − C A ) {\displaystyle |AT_{C}|=|CT_{A}|={\frac {1}{2}}(AB+CB-CA)}
(2b)
| C T B | = | B T C | = 1 2 ( C A + A B − B C ) . {\displaystyle |CT_{B}|=|BT_{C}|={\frac {1}{2}}(CA+AB-BC).}
(2c)

Teraz zauważmy, że zachodzi

| A T B | | T B C | ⋅ | C T A | | T A B | ⋅ | B T C | | T C A | = | B T A | | T B C | ⋅ | T C A | | T A B | ⋅ | C T B | | T C A | = 1 , {\displaystyle {\frac {|AT_{B}|}{|T_{B}C|}}\cdot {\frac {|CT_{A}|}{|T_{A}B|}}\cdot {\frac {|BT_{C}|}{|T_{C}A|}}={\frac {|BT_{A}|}{|T_{B}C|}}\cdot {\frac {|T_{C}A|}{|T_{A}B|}}\cdot {\frac {|CT_{B}|}{|T_{C}A|}}=1,}

co jest założeniem twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Cevy. Wynika z niego, że proste zawierające odcinki T A A , T B B , T C C {\displaystyle T_{A}A,\,T_{B}B,\,T_{C}C} przecinają się więc w jednym punkcie.

Związki z innymi punktami w trójkącie

Punkt Nagela jest sprzężeniem izotomicznym punktu Gergonne’a[5].

Punkt Nagela, centroid (inaczej barycentrum, punkt przecięcia środkowych) oraz środek okręgu wpisanego są współliniowe i leżą na prostej nazywanej prostą Nagela, drugą prostą Eulera, lub prostą Nagela-Eulera[6].

Środek okręgu wpisanego jest punktem Nagela trójkąta dopełniającego dla trójkąta Δ A B C , {\displaystyle \Delta ABC,} tj. trójkąta powstałego poprzez połączenie środków boków trójkąta Δ A B C . {\displaystyle \Delta ABC.} Rozumując odwrotnie, Punkt Nagela trójkąta Δ A B C {\displaystyle \Delta ABC} jest środkiem okręgu wpisanego trójkąta antydopełniającego dla trójkąta Δ A B C , {\displaystyle \Delta ABC,} tj. trójkąta, dla którego Δ A B C {\displaystyle \Delta ABC} jest trójkątem dopełniającym[6][7][8].

Współrzędne trójliniowe

Współrzędnymi trójliniowymi punktu Nagela są[9]

cosec 2 ⁡ ( A / 2 ) : cosec 2 ⁡ ( B / 2 ) : cosec 2 ⁡ ( C / 2 ) {\displaystyle \operatorname {cosec} ^{2}(A/2)\,:\,\operatorname {cosec} ^{2}(B/2)\,:\,\operatorname {cosec} ^{2}(C/2)}

lub, przyjmując długość odpowiednich boków jako a, b i c,

b + c − a a : c + a − b b : a + b − c c . {\displaystyle {\frac {b+c-a}{a}}\,:\,{\frac {c+a-b}{b}}\,:\,{\frac {a+b-c}{c}}.}

Przypisy

  1. ↑ a b Bottema 2008 ↓, s. 10–11.
  2. ↑ Mikołajczyk 2012 ↓, s. 178.
  3. ↑ Zetel 1964 ↓, s. 20–21.
  4. ↑ Coxeter 1967 ↓, s. 13.
  5. ↑ Bottema 2008 ↓, s. 117–118.
  6. ↑ a b Zetel 1964 ↓, s. 55–56.
  7. ↑ Anonim 1893 ↓.
  8. ↑ Polymathematics ↓.
  9. ↑ Gallatly 1913 ↓, s. 20.

Bibliografia

  • Peter Baptist. Historische Anmerkungen zu Gergonne- und Nagel-Punkt. „Sudhoffs Archiv für Geschichte der Medizin und der Naturwissenschaften”. 71 (2), 1987. 
  • O. Bottema: Topics in Elementary Geometry. Springer, 2008.
  • H.S.M. Coxeter, S.L. Greitzer: Geometry Revisited. The Mathematical Association of America, 1967.
  • William Gallatly: The Modern Geometry of the Triangle. Londyn: Hodgson, 1913.
  • Jak pracować z uczniem zdolnym? Poradnik nauczyciela matematyki. praca zbiorowa pod red. Małgorzaty Mikołajczyk. Warszawa: Ośrodek Rozwoju Edukacji, 2012.
  • David Wells: The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry. John Sharp (ilustr.). Penguin Books Ltd., 1991.
  • Paul Yiu: Notes on Euclidean Geometry. 1998.
  • S.I. Zetel: Geometria trójkąta. Andrzej Mąkowski (tłum.). Warszawa: Państwowe Zakłady Wydawnictw Szkolnych, 1964.
  • Anonim. Geometry: 69-72, Problem 73. „American Mathematical Monthly”. 3 (12), s. 329, 1893. JSTOR: 2970994?. 

Linki zewnętrzne

  • Polymathematics: Why is the Incenter the Nagel Point of the Medial Triangle?. [dostęp 2014-08-18].
  • Punkt Nagela ze strony Cut-the-knot