Teoria ergodyczna

Teoria ergodyczna (stgr. εργον, ergon - "praca", οδος, odos - "droga") jest dziedziną matematyki zajmującą się ergodycznymi układami dynamicznymi. W najszerszym rozumieniu, teoria ergodyczna zajmuje się analizą jakościową działań grupowych na przestrzeniach (takich jak topologiczne, metryczne czy rozmaitości). Ważne jest, aby każde działanie zachowywało konkretną strukturę przestrzeni^[1].

Historia

Pojęcie "ergodyczności" jako pierwszy wprowadził Boltzmann, aby opisać hipotezę dotyczącą działania na powierzchni energii potencjalnej. Niech ${\displaystyle H}$ będzie hamiltonianem, typem występującym w mechanice statystycznej. ${\displaystyle H^{-1}(e)}$ jest wówczas powierzchnią energii. Oznaczając przez ${\displaystyle T_{t}(x)}$ stan punktu ${\displaystyle x}$ układu po czasie ${\displaystyle t_{0}+t}$, Boltzmann przypuszczał, że dla każdego ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$ i ${\displaystyle x\in H^{-1}(e)}$ orbita ${\displaystyle O_{T_{t}}(x)}$ będzie równa całej powierzchni. Zdanie to nazwał hipotezą ergodyczną. Hipoteza ta okazała się jednak być fałszywa^[1].

W matematyce, pierwsze twierdzenia bliskie ogólnym wynikom ergodycznym dotyczyły rozmieszczenia ciągu ${\displaystyle x_{n}=n\alpha \;({\text{mod }}1)=\{n\alpha \}}$ (część ułamkowa) dla ${\displaystyle \alpha }$ niewymiernej w przedziale ${\displaystyle (0,1)}$. Powiemy, że ${\displaystyle (x_{n})}$ jest rozmieszczony jednostajnie na ${\displaystyle (0,1)}$, jeśli dla dowolnych ${\displaystyle a,b\in [0,1]}$, ${\displaystyle a<b}$ zachodzi

${\displaystyle \lim _{N\to \infty }{\frac {|\{n\in [1,N]\cap \mathbb {N} \;\colon \;x_{n}\in (a,b)\}|}{N}}=b-a}$.

W latach 1909-1910 Bohl^[2], Sierpiński^[3] i Weyl^[4] udowodnili niezależnie od siebie jednoznaczne rozmieszczenie ciągu ${\displaystyle x_{n}=n\alpha \;({\text{mod }}1)}$. Pierwsze dowody były elementarne, korzystały jedynie z analizy fourierowskiej. Niedługo później, w 1916 Weyl sformułował twierdzenie^[5] mówiące, że dowolny ciąg ${\displaystyle (x_{n})}$ o wyrazach w przedziale ${\displaystyle [0,1)}$ jest rozmieszczony jednostajnie wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnej funkcji ${\displaystyle f\colon [0,1]\to \mathbb {R} }$, ${\displaystyle f(0)=f(1)}$ całkowalnej w sensie Riemanna zachodzi

${\displaystyle \lim _{N\to \infty }{\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}f(x_{n})=\int _{0}^{1}f(x)dx}$.

Twierdzenie to ma faktyczny charakter ergodyczny - szereg po lewej stronie możemy traktować jako "średnią w czasie", a całkę po prawej jako "średnią w przestrzeni". Funkcja ${\displaystyle f}$ ma okres równy 1. Zgodnie z teorią Fouriera, każdą funkcję okresową można wyrazić jako kombinacja liniowa specjalnych funkcji okresowych ${\displaystyle e^{2\pi imx}}$ dla ${\displaystyle m\in \mathbb {Z} }$. Weyl skorzystał z tej obserwacji, aby poprzedni warunek zastąpić przez

${\displaystyle \lim _{N\to \infty }{\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}e^{2\pi imx_{n}}=0}$

dla dowolnego ${\displaystyle m\in \mathbb {Z} \setminus \{0\}}$. Powyższe pozwoliło mu udowodnić kolejne twierdzenie.

Twierdzenie (Weyla o jednostajnym rozmieszczeniu wielomianów)^[6]. Niech ${\displaystyle p(x)=\alpha _{k}x^{k}+\alpha _{k-1}x^{k-1}+\ldots +\alpha _{1}x+\alpha _{0}}$ będzie danym wielomianem o współczynnikach rzeczywistych. Jeśli przynajmniej jeden ze współczynników ${\displaystyle \alpha _{k},\alpha _{k-1},\ldots ,\alpha _{1}}$ jest niewymierny, to ciąg ${\displaystyle (p(n)\;({\text{mod }}1))}$ jest rozmieszczony jednostajnie na ${\displaystyle (0,1)}$.

W 1931 r. Koopman opublikował krótki artykuł o znaczących obserwacjach^[7]. Jeśli ${\displaystyle T\colon X\to X}$ jest odwracalne i zachowuje miarę w przestrzeni ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}},\mu )}$, to operator ${\displaystyle U}$ zdefiniowany na ${\displaystyle L^{2}(X,{\mathcal {F}},\mu )}$ (przestrzeni funkcji całkowalnych z kwadratem) poprzez ${\displaystyle Uf(x)=f(Tx)}$ jest unitarny. Halmos pisze^[8]:

Twierdzenia ergodyczne

Twierdzenie Birkhoffa

 Główny artykuł: twierdzenie ergodyczne Birkhoffa.

Jeśli ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}},\mu ,T)}$ jest układem ergodycznym, to dla dowolnej funkcji ${\displaystyle f\in L_{1}(\mu )}$ zachodzi^[1]

${\displaystyle \lim _{N\to \infty }{\frac {1}{N}}\sum _{n=0}^{N-1}f(T^{n}x)=\int _{X}f\;d\mu }$

dla ${\displaystyle \mu -}$prawie wszystkich ${\displaystyle x\in X}$.

Średnie twierdzenie ergodyczne (von Neumanna)

Jeśli ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}},\mu ,T)}$ jest układem ergodycznym, a ${\displaystyle P_{T}}$ jest ortogonalną projekcją na podprzestrzeń

${\displaystyle I=\{g\in L_{2}(\mu )\colon \;U_{T}g=g\}\subseteq L_{2}(\mu )}$,

to dla dowolnej funkcji ${\displaystyle f\in L_{2}(\mu )}$ zachodzi zbieżność w normie ${\displaystyle L_{2}(\mu )}$^[9],

${\displaystyle {\frac {1}{N}}\sum _{n=0}^{N-1}f(T^{n}x)\longrightarrow P_{T}f}$

przy ${\displaystyle N\to \infty }$.

Zastosowania

Teoria liczb

Teoria ergodyczna znajduje wiele zastosowań w analizie klasycznych i nowych problemów teorii liczb.

W opublikowanym w 2018 r. artyklue Bartnicka, Kasjan, Kułaga-Przymus i Lemańczyk ogłosili wynik dotyczący powtarzania się "bloków" w tzw. zbiorach liczb B-wolnych^[10]. Wyniki te powstały jako rozszerzenie programu Sarnaka, który początkowo obejmował jedynie dynamiczną analizę liczb bezkwadratowych^[11]. W 2020 r. Kułaga-Przymus i Lemańczyk przedstawili hipotezę Chowli i Sarnaka z perspektywy teorii ergodycznej^[12].

Przypisy