Twierdzenie Riesza-Skorochoda

Twierdzenie Riesza-Skorochoda – twierdzenie z pogranicza teorii miary i analizy funkcjonalnej, postulujące, że dla nieujemnego funkcjonału liniowego, spełniającego warunek Skorochoda, istnieje dokładnie jedna miara, po której całka jest tym funkcjonałem.

Ustalenia wstępne

Ustalmy przestrzeń metryczną ${\displaystyle (X,\varrho )}$ i niech:

${\displaystyle {\mathcal {B}}(X)}$ – σ-ciało wszystkich podzbiorów borelowskich przestrzeni ${\displaystyle X,}$

${\displaystyle C(X)}$ – przestrzeń wszystkich ciągłych i ograniczonych odwzorowań przestrzeni ${\displaystyle X}$ w ${\displaystyle \mathbb {R} }$ z normą supremum.

Funkcjonał liniowy ${\displaystyle \varphi \colon C(X)\to \mathbb {R} }$ nazywamy nieujemnym, gdy ${\displaystyle \varphi (f)\geqslant 0}$ dla każdej ciągłej i ograniczonej funkcji ${\displaystyle f\colon X\to [0,\infty ).}$

Uwagi

• Każdy nieujemny funkcjonał liniowy ${\displaystyle \varphi \colon C(X)\to \mathbb {R} }$ jest ciągły, ${\displaystyle |\varphi (f)|\leqslant \varphi (|f|)}$ oraz ${\displaystyle \|\varphi \|=\varphi (\mathbf {1} _{X}).}$
• Jeżeli ${\displaystyle \mu \colon {\mathcal {B}}(X)\to [0,\infty ]}$ jest miarą skończoną, to funkcjonał ${\displaystyle \varphi \colon C(X)\to \mathbb {R} }$ dany wzorem

${\displaystyle \varphi (f)=\int \limits _{X}fd\mu }$

jest liniowy i nieujemny, a jeżeli przestrzeń ${\displaystyle (X,\varrho )}$ jest przestrzenią polską, to spełniony jest:

Warunek Skorochoda

Dla każdego ${\displaystyle \varepsilon >0}$ istnieje taki zbiór zwarty ${\displaystyle K\subset X,}$ że

${\displaystyle \forall _{f\in C(X)}[f|_{K}=0\Rightarrow |\varphi (f)|\leqslant \varepsilon \|f\|].}$

Twierdzenie Riesza-Skorochoda

Jeżeli nieujemny funkcjonał liniowy ${\displaystyle \varphi \colon C(X)\to \mathbb {R} }$ spełnia warunek Skorochoda, to istnieje dokładnie jedna taka miara ${\displaystyle \mu \colon {\mathcal {B}}(X)\to [0,\infty ),}$ że

${\displaystyle \varphi (f)=\int \limits _{X}fd\mu }$ dla ${\displaystyle f\in C(X).}$

Wniosek

Dla każdego ciągłego funkcjonału liniowego ${\displaystyle \varphi \colon C(X)\to \mathbb {R} }$ istnieje dokładnie jedna taka σ-addytywna funkcja zbiorów ${\displaystyle \nu \colon {\mathcal {B}}(X)\to \mathbb {R} ,}$ że

${\displaystyle \varphi (f)=\int \limits _{X}fd\nu }$ dla ${\displaystyle f\in C(X).}$