Zbiór miary zero

Zbiór miary zero – zbiór mierzalny rozważanej przestrzeni mierzalnej ${\displaystyle (X,{\mathfrak {M}})}$ „nieistotny” z punktu widzenia zadanej na niej miary ${\displaystyle \mu ,}$ tzn. dowolny zbiór ${\displaystyle A\in {\mathfrak {M}}}$ spełniający ${\displaystyle \mu (A)=0.}$ Podzbiory zbiorów miary zero nazywa się zaniedbywalnymi (w szczególności każdy zbiór miary zero jest zaniedbywalny); jeśli miara jest zupełna (tj. zbiory zaniedbywalne są mierzalne), to z jej monotoniczności wynika też, że każdy zbiór zaniedbywalny jest miary zero, co oznacza, że wtedy pojęcia te są równoważne.

O własności przysługującej elementom pewnego zbioru miary zero mówi się, iż zachodzi prawie nigdzie, z kolei gdy dana własność zachodzi dla wszystkich elementów przestrzeni poza zbiorem zerowej miary, to zachodzi ona prawie wszędzie. W teorii prawdopodobieństwa zamiast wyrażeń „prawie nigdzie”, „prawie wszędzie” używa się wyrażeń „prawie nigdy”, „prawie na pewno/zawsze” (np. o możliwości zajścia zdarzenia losowego); ponieważ miara całej przestrzeni probabilistycznej jest równa jedności, to „prawie na pewno” oznacza „z prawdopodobieństwem 1”.

W przestrzeniach euklidesowych zbiory mierzy się zwykle za pomocą miary Lebesgue’a: w tym przypadku zbiory miary zero można scharakteryzować nie odwołując się do pojęć teorii miary; w lokalnie zwartych grupach topologicznych (którymi są m.in. przestrzenie euklidesowe) standardową miarą jest z kolei pewna (lewostronnie niezmiennicza) miara Haara (której przykładem jest miara Lebesgue’a).

Miara Lebesgue’a

 Zobacz też: miara Lebesgue’a.

Podzbiory miary Lebesgue’a zero przestrzeni euklidesowych można scharakteryzować nie odwołując się bezpośrednio do pojęcia miary: podzbiór ${\displaystyle A}$ prostej ${\displaystyle \mathbb {R} }$ nazywa się zaniedbywalnym lub miary Lebesgue’a zero (na mocy zupełności tej miary; często krótko: „miary zero”), jeżeli można wybrać ciąg przedziałów otwartych dowolnie małej długości pokrywających ten zbiór, tzn. dla dowolnego ${\displaystyle \varepsilon >0}$ istnieje taki ciąg przedziałów ${\displaystyle (I_{n}),}$ który spełnia

${\displaystyle A\subseteq \bigcup _{n=1}^{\infty }I_{n}}$

oraz

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }|I_{n}|<\varepsilon ,}$

gdzie ${\displaystyle I_{k}=(a_{k},b_{k})}$ oznacza przedział otwarty dla ${\displaystyle a_{k}<b_{k}}$ o długości ${\displaystyle |I_{k}|=b_{k}-a_{k}.}$ Definicja ta uogólnia się wprost na przestrzenie ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d},}$ wtedy przedziały jednowymiarowe należy zastąpić przedziałami wielowymiarowymi, tj. zbiorami postaci ${\displaystyle I=I_{1}\times \ldots \times I_{d},}$ w których czynniki kartezjańskie są przedziałami otwartymi, a ich objętość dana jest wzorem ${\displaystyle |I|=|I_{1}|\dots |I_{d}|.}$ Wynika stąd w szczególności, że podzbiory, które można zanurzyć w ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d-1}}$ są miary zero (${\displaystyle d}$-wymiarowej Lebesgue’a).

Przykłady

Niech dana będzie funkcja mierzalna ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ (w sensie Lebesgue’a). Mówi się, że jest ona ciągła prawie wszędzie (ciągła p.w.) wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór jej punktów nieciągłości jest miary zero (Lebesgue’a). Jeżeli ${\displaystyle g\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ jest mierzalna (w sensie Lebesgue’a), to funkcje ${\displaystyle f}$ oraz ${\displaystyle g}$ są równe prawie wszędzie, tj. ${\displaystyle f=g\;\mathrm {p.w.} ,}$ wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór

${\displaystyle {\big \{}x\in \mathbb {R} \colon f(x)\neq g(x){\big \}}}$

jest miary (Lebesgue’a) zero; podobnie jeśli dany jest ciąg ${\displaystyle (f_{n})}$ funkcji mierzalnych ${\displaystyle f_{n}\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,}$ to nazywa się go zbieżnym prawie wszędzie do ${\displaystyle f,}$ tzn. ${\displaystyle f_{n}\to f\;\mathrm {p.w.} ,}$ wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór

${\displaystyle \left\{x\in \mathbb {R} \colon \lim _{n\to \infty }~f_{n}(x)\neq f(x)\right\}}$

ma miarę (Lebesgue’a) zero; dla funkcji ${\displaystyle g\colon \mathbb {R} \to {\overline {\mathbb {R} }}}$ o wartościach w rozszerzonym zbiorze liczb rzeczywistych, jeśli zbiór

${\displaystyle {\big \{}x\in A\colon g(x)\notin \mathbb {R} {\big \}}}$

jest zaniedbywalny, to o funkcji ${\displaystyle g}$ mówi się, że jest prawie wszędzie skończona. Można również spotkać się z następującym skróconym zapisem (szczególnie w rachunku prawdopodobieństwa, gdzie miara jest prawdopodobieństwem): ${\displaystyle \lambda (f=g)=0}$ oraz ${\displaystyle \lambda (f_{n}\to f)=0,}$ ${\displaystyle \lambda (g\in \mathbb {R} )=0}$ oznaczającym odpowiednio równość ${\displaystyle f}$ oraz ${\displaystyle g,}$ zbieżność ${\displaystyle f_{n}}$ do ${\displaystyle f}$ oraz skończoność ${\displaystyle g}$ na zbiorach miary (Lebesgue’a) zero; w każdym z powyższych przypadków miarę Lebesgue’a ${\displaystyle \lambda }$ można zastąpić dowolną miarą ${\displaystyle \mu }$ określoną na ustalonym σ-ciele abstrakcyjnej przestrzeni mierzalnej.

Niech ${\displaystyle {\mathfrak {N}}}$ będzie rodziną wszystkich podzbiorów liczb rzeczywistych, które są miary Lebesgue’a zero: tworzy ona σ-ideał wśród podzbiorów liczb rzeczywistych. Należą do niego m.in. wszystkie zbiory jednopunktowe, a stąd również wszystkie zbiory przeliczalne, czy klasyczny zbiór Cantora (poprzez drobne zmiany konstrukcji można uzyskać zbiór Cantora o dowolnej mierze skończonej), ponadto każdy ze zbiorów należących do ${\displaystyle {\mathfrak {N}}}$ zawiera się w zbiorze typu G_δ należącym do ${\displaystyle {\mathfrak {N}}.}$ Dowolna rodzina rozłącznych borelowskich podzbiorów ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ które nie są miary zero (w sensie Lebesgue’a), jest co najwyżej przeliczalna.

Zbiór liczb rzeczywistych ${\displaystyle \mathbb {R} }$ można przedstawić w postaci sumy dwóch rozłącznych zbiorów ${\displaystyle M}$ oraz ${\displaystyle N,}$ z których pierwszy jest zbiorem mizernym (zbiorem pierwszej kategorii), a drugi jest miary Lebesgue’a zero. Otóż jeżeli ${\displaystyle \mathbb {Q} =\{q_{1},q_{2},q_{3},\dots \}}$ oznacza zbiór liczb wymiernych, zaś ${\displaystyle I_{n,m}=\left(q_{n}-2^{-n-m-1},q_{n}+2^{-n-m-1}\right)}$ jest przedziałem otwartym o środku w ${\displaystyle q_{n}}$ i długości ${\displaystyle 2^{-(n+m)},}$ to jako zbiór miary zero można przyjąć

${\displaystyle N=\bigcap _{m=1}^{\infty }\bigcup _{n=1}^{\infty }~I_{n,m};}$

jego dopełnienie ${\displaystyle M=N^{\mathrm {c} }}$ jest zbiorem mizernym. Innym przykładem powyższego rozkładu jest zbiór ${\displaystyle N}$ wszystkich liczb Liouville’a, który ma miarę zero oraz jego dopełnienie będące zbiorem pierwszej kategorii.

Niech ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}=\mathbb {R} ^{m}\times \mathbb {R} ^{n};}$ konsekwencją zasady Cavalieriego jest fakt mówiący, że jeżeli ${\displaystyle E}$ jest podzbiorem miary zero w ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d},}$ to

${\displaystyle \lambda _{m}\left(E^{y}\right)=0}$

dla prawie wszystkich ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$ i podobnie

${\displaystyle \lambda _{n}\left(E_{x}\right)=0}$

dla prawie wszystkich ${\displaystyle y\in \mathbb {R} ^{m},}$ gdzie ${\displaystyle \lambda _{k}}$ oznacza ${\displaystyle k}$-wymiarową miarę Lebesgue’a, a ${\displaystyle E_{x}={\big \{}x\in \mathbb {R} ^{n}\colon (x,y)\in E{\big \}}}$ oraz ${\displaystyle E^{y}={\big \{}y\in \mathbb {R} ^{m}\colon (x,y)\in E{\big \}}.}$ Uogólnieniem tej obserwacji jest następujący wniosek płynący z twierdzenia Fubiniego: jeżeli ${\displaystyle (X,{\mathfrak {M}},\mu )}$ oraz ${\displaystyle (Y,{\mathfrak {N}},\nu )}$ są dwiema przestrzeniami mierzalnymi z miarami σ-skończonymi, przy czym ${\displaystyle \lambda =\mu \otimes \nu }$ jest miarą produktową określoną na przestrzeni produktowej ${\displaystyle (X\times Y,{\mathfrak {M}}\otimes {\mathfrak {N}}),}$ to dla dowolnego zbioru mierzalnego ${\displaystyle E}$ na tej przestrzeni następujące warunki są równoważne:

• zbiór ${\displaystyle E}$ jest miary ${\displaystyle \lambda }$ zero;
• zbiór ${\displaystyle {\big \{}x\in X\colon \nu (E^{y})\neq 0{\big \}}}$ jest miary ${\displaystyle \mu }$ zero;
• zbiór ${\displaystyle {\big \{}y\in Y\colon \mu (E_{x})\neq 0{\big \}}}$ jest miary ${\displaystyle \nu }$ zero;

gdzie ${\displaystyle E_{x}={\big \{}x\in X\colon (x,y)\in E{\big \}}}$ oraz ${\displaystyle E^{y}={\big \{}y\in Y\colon (x,y)\in E{\big \}}.}$

Zobacz też

• diagram Cichonia
• prawo wielkich liczb
• twierdzenie o nieskończonej liczbie małp
• zbieżność prawie wszędzie/na pewno
• zbieżność według miary/prawdopodobieństwa

Bibliografia

• Stanisław Łojasiewicz: Wstęp do teorii funkcji rzeczywistych. Warszawa: PWN, 1973, s. 144–145.
• John C. Oxtoby: Measure and Category: A Survey of the Analogies Between Topological and Measure Spaces. New York – Heidelberg – Berlin: Springer-Verlag, 1980, s. 2–5.
• Jacek Jakubowski, Rafał Sztencel: Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Warszawa: SCRIPT, 2004. ISBN 83-89716-02-X. Brak numerów stron w książce