Constante Omega

A constante ômega é uma constante matemática definida como o único número real que satisfaz a equação

Ω e Ω = 1. {\displaystyle \Omega e^{\Omega }=1.}

Onde Ω é o valor de W(1), e W é a função W de Lambert . O nome é ômega vem da alternativa para a função W de Lambert, chamada também de função ômega . O valor numérico de Ω é dado por

Ω = 0.567143290409783872999968662210...
1/Ω = 1.763222834351896710225201776951...

Propriedades

Representação de ponto fixo

A identidade definidora pode ser expressa, por exemplo, como

ln ⁡ ( 1 Ω ) = Ω . {\displaystyle \ln({\tfrac {1}{\Omega }})=\Omega .}

ou

− ln ⁡ ( Ω ) = Ω {\displaystyle -\ln(\Omega )=\Omega }

ou

e − Ω = Ω . {\displaystyle e^{-\Omega }=\Omega .}

Computação

Pode-se calcular Ω iterativamente, começando com uma estimativa inicial Ω0, e considerando a sequência

Ω n + 1 = e − Ω n . {\displaystyle \Omega _{n+1}=e^{-\Omega _{n}}.}

Esta sequência irá convergir para Ω conforme n aproxima do infinito. Isso ocorre porque Ω é um ponto fixo atraente da função e−x .

É muito mais eficiente usar a iteração

Ω n + 1 = 1 + Ω n 1 + e Ω n , {\displaystyle \Omega _{n+1}={\frac {1+\Omega _{n}}{1+e^{\Omega _{n}}}},}

porque a função

f ( x ) = 1 + x 1 + e x , {\displaystyle f(x)={\frac {1+x}{1+e^{x}}},}

além de ter o mesmo ponto fixo, também tem uma derivada que aí desaparece. Isso garante convergência quadrática; ou seja, o número de dígitos corretos é praticamente duplicado a cada iteração.

Usando o método de Halley, Ω pode ser aproximado com convergência cúbica (o número de dígitos corretos é aproximadamente triplicado com cada iteração): (ver também Lambert W function § Numerical evaluation ).

Ω j + 1 = Ω j − Ω j e Ω j − 1 e Ω j ( Ω j + 1 ) − ( Ω j + 2 ) ( Ω j e Ω j − 1 ) 2 Ω j + 2 . {\displaystyle \Omega _{j+1}=\Omega _{j}-{\frac {\Omega _{j}e^{\Omega _{j}}-1}{e^{\Omega _{j}}(\Omega _{j}+1)-{\frac {(\Omega _{j}+2)(\Omega _{j}e^{\Omega _{j}}-1)}{2\Omega _{j}+2}}}}.}

Representações integrais

Uma identidade devida a Victor Adamchik  é dada pela relação

∫ − ∞ ∞ d t ( e t − t ) 2 + π 2 = 1 1 + Ω . {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {dt}{(e^{t}-t)^{2}+\pi ^{2}}}={\frac {1}{1+\Omega }}.}

Outras relações devidas a I. Mező são[1][2]

Ω = 1 π Re ⁡ ∫ 0 π log ⁡ ( e e i t − e − i t e e i t − e i t ) d t , {\displaystyle \Omega ={\frac {1}{\pi }}\operatorname {Re} \int _{0}^{\pi }\log \left({\frac {e^{e^{it}}-e^{-it}}{e^{e^{it}}-e^{it}}}\right)dt,}
Ω = 1 π ∫ 0 π log ⁡ ( 1 + sin ⁡ t t e t cot ⁡ t ) d t . {\displaystyle \Omega ={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\log \left(1+{\frac {\sin t}{t}}e^{t\cot t}\right)dt.}

As duas últimas identidades podem ser estendidas a outros valores da W (ver também a Lambert W function § Representations ).

Transcendência

A constante Ω é transcendental . Isso pode ser visto como uma consequência direta do teorema de Lindemann-Weierstrass . Para uma contradição, suponha que Ω seja algébrico. Pelo teorema, e−Ω é transcendental, mas Ω = e−Ω, o que é uma contradição. Portanto, deve ser transcendental.

Referências

  1. ↑ István, Mező. «An integral representation for the principal branch of Lambert the W function». Consultado em 7 de novembro de 2017. Cópia arquivada em 28 de dezembro de 2016 
  2. ↑ Mező, István (2020). «An integral representation for the Lambert W function». arXiv:2012.02480Acessível livremente .

Ligações externas

  • Weisstein, Eric W. «Omega Constant» (em inglês). MathWorld 
  • «Omega constant (1,000,000 digits)», Darkside communication group (in Japan), consultado em 25 de dezembro de 2017