Funcional de Minkowski

Em matemática, sobretudo na análise funcional, um funcional de Minkowski faz uma interpretação geométrica dos funcionais norma e semi-norma.

Definição

Seja ${\displaystyle X\,}$ um espaço vetorial topológico real ou complexo. Um conjunto ${\displaystyle S\,}$ é dito absorvente se:

${\displaystyle X\subseteq \bigcup _{\lambda >0}\lambda S,}$

em que ${\displaystyle \lambda S=\{\lambda x:x\in S\}\,}$.

O funcional de Minkowski ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} ^{+}\,}$ associado a ${\displaystyle S\,}$ é definido como:

${\displaystyle p(x)=\inf\{\lambda >0:x\in \lambda S\},\;\forall \;x\in X.}$

• Pode-se mostrar que se ${\displaystyle S\,}$ é um conjunto equilibrado, convexo e absorvente então ${\displaystyle p\,}$ é uma semi-norma.
• Se além disto, ${\displaystyle S\,}$ não contiver nenhum subespaço vetorial não-trivial, então ${\displaystyle p\,}$ é uma norma.

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