Em matemática, um número duplo de Mersenne é um número de Mersenne da forma
![{\displaystyle M_{M_{n}}=2^{M_{n}}-1=2^{2^{n}-1}-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/974ac8699dd866ea7a15f73cd240aeb3552e911c)
onde o exponente
é também um número de Mersenne
, sendo n um natural.
Números duplos de Mersenne primos
Muitas vezes considera-se apenas os números duplos de Mersenne que são primos.
Como um número de Mersenne
é primo só se
é primo[1], então um número duplo de Mersenne
é primo apenas se
é também um número primo de Mersenne.
Os primeiros valores de p para os quais
é primo são p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89. Desses, sabe-se que
é primo para p = 2, 3, 5, 7. Para p = 13, 17, 19, já se encontraram fatores de forma explícita, ficando assim demonstrado que os números duplos de Mersenne correspondentes são compostos e não primos. Portanto, o candidato mais pequeno para ser um número duplo de Mersenne primo é
, ou seja, 22305843009213693951 − 1. Com aproximadamente 6,94 × 1017 algarismos, este número é demasiado grande para qualquer teste de primalidade dos que se conhecem na atualidade, embora se saiba que não tem nenhum fator primo menor que 4 × 1033.[2]
Aqui fica a lista dos números duplos de Mersenne primos que se conhecem na atualidade:
![{\displaystyle M_{M_{2}}=M_{3}=7}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3471c7d39c45523f1579e325d3a61969d97502d5)
![{\displaystyle M_{M_{3}}=M_{7}=127}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/672bc21c85d06868bf00cd80686a2c3215e59384)
![{\displaystyle M_{M_{5}}=M_{31}=2147483647}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55ef45bb0279e6daa08112439c8f3685a398441e)
((sequência A077586 na OEIS))
Números de Catalan-Mersenne
Seja
. A sucessão definida de forma recursiva como:
- 2, M(2), M(M(2)), M(M(M(2))), M(M(M(M(2)))), ... ((sequência A007013 na OEIS))
é conhecida como "sucessão dos números de Catalan-Mersenne".[3] Diz-se[4] que ocorreu a Catalan esta sucessão depois de Lucas descobrir em 1876 que
era primo.
Embora os cinco primeiros termos da sucessão (até
) sejam primos, não se conhece qualquer método que ajude a elucidar se algum termo mais o é também.
Bibliografia
- L. E. Dickson, History of the theory of numbers, Carnegie Institute of Washington, 1919. Reimpresso por Chelsea Publishing, Nova Iorque, 1971.
Ver também
Marin Mersenne
Referências
- ↑ A demonstração está no artigo "Número de Mersenne"
- ↑ Tony Forbes, A search for a factor of MM61. Progress: 9 October 2008.
- ↑ MathWorld: Catalan-Mersenne Number
- ↑ Chris Caldwell, Mersenne Primes: History, Theorems and Lists nas Prime Pages.
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![{\displaystyle (2^{2^{n}}+1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93eb116c31324099b69d936d520e6ef3fcda921d) - Mersenne
![{\displaystyle (2^{p}-1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff5e3ddbb373726b17a26e34126deb55b166ff87) - Duplo de Mersenne
![{\displaystyle (2^{2^{p}-1}-1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1835aef839f9ef44f748cf67674c0a166bdbfd71) - Wagstaff
![{\displaystyle {\frac {(2^{p}+1)}{3}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25b13cbecae516f39a0998209d053c401033088d) - Proth
![{\displaystyle (k\cdot 2^{n}+1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a850b678bdf0a7ceb6c90577df3495fc1de474) - Factorial
![{\displaystyle (n!\pm 1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47d4d60dd075b15589cb182b42f152d2e587065d) - Primorial
![{\displaystyle (p_{n}\#\pm 1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c1df4e8d29b9b8264895c9151398c1d001b89ad) - Euclides
![{\displaystyle (p_{n}\#+1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7de51224ceb61b6f827fb670418610979303be5d) - Pitagórico
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![{\displaystyle (n\cdot 2^{n}+1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8e9e6b97738ef48e8096a5942bce7ced58b3a49) - Woodall
![{\displaystyle (n\cdot 2^{n}-1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/acf9e31860bad845dd75f9cf41cf058cdb88b5cc) - Cubano
![{\displaystyle {\frac {(x^{3}-y^{3})}{(x-y)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e2e1aac9d468b948ad331e322f944695e3f0d28) - Carol
![{\displaystyle {(2^{n}-1)}^{2}-2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59ec427e1adf93b03b27ab1550bf348a593ac8b4) - Kynea
![{\displaystyle {(2^{n}+1)}^{2}-2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51d38f86286d8b9c9dc6ceb821972d02d1c4e91a) - Leyland
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![{\displaystyle (3\cdot 2^{n}-1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4459f9d79b1127316dc202da3465bbf76b67d36f) - Mills (chão
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![{\displaystyle (p,p+2~ou~p+4,p+6)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4627bdddefde6d58ea32e73a6b47e22f3ef57522) - Quádrupla
![{\displaystyle (p,p+2,p+6,p+8)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99e6d4d2753696bd3114c75a4a70f3985cdcafe1) - Tuplo
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![{\displaystyle (p,p+6)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/605f75125b6e36d8b882393e85225236b1a7171a) - Chen
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![{\displaystyle (p,2p\pm 1,\ldots )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db06a6b86bc0a433c31df298769dbddd3b31a1ba) - Seguro
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![{\displaystyle p-n,p,p+n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7552e9db33203a780ff20262082dcefacf132099) |
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