Problema do sofá móvel

Problema de matemática em aberto:

Qual é a maior área bidimensional que pode passar por um corredor de 1 unidade em formato de L?

Na matemática, o problema do sofá móvel ou o problema do sofá é uma idealização bidimensional de problemas de movimentação de móveis da vida real e questiona qual é a maior área A bidimensional que pode ser manobrada através de uma região plana em formato de L com largura da unidade.[1] A área A assim obtida é referida como constante do sofá . O valor exato da constante do sofá é um problema em aberto .

História

A primeira publicação formal foi realizada pelo matemático austríaco-canadense Leo Moser em 1966, embora houvesse muitas menções informais antes dessa data.[1]

Limites inferiores e superiores

Limites inferiores

O sofá de Hammersley tem a área de 2,2074, mas não é a maior solução
O sofá de Gerver tem área de 2,2195 com 18 seções curvas

Foi feito um trabalho para provar que a constante do sofá não pode estar abaixo ou acima de certos valores (limites inferiores e limites superiores). Um limite inferior óbvio é A ≥ π / 2 ≈ 1 , 57079 {\displaystyle A\geq \pi /2\approx 1,57079} . Isso vem de um sofá que é meio disco de raio medindo uma unidade, que pode girar no canto.

John Hammersley derivou um limite inferior de A ≥ π / 2 + 2 / π ≈ 2 , 2074 {\displaystyle A\geq \pi /2+2/\pi \approx 2,2074} com base numa forma semelhante a um telefone com fio, que consiste em dois quartos de disco de raio 1 em ambos os lados de um retângulo de proporção 1 / ( 4 / π ) {\displaystyle 1/(4/\pi )} do qual um meio disco de raio 2 / π {\displaystyle 2/\pi } foi removido

Joseph Gerver encontrou um sofá descrito por 18 seções curvas, cada uma assumindo uma forma analítica suave. Isso aumentou ainda mais o limite inferior da constante do sofá para aproximadamente 2,2195.[2][3]

Um cálculo de Philip Gibbs produziu uma forma indistinguível da do sofá de Gerver, dando um valor para a área igual a oito números significativos.[4] Isso é evidência de que o sofá de Gerver é realmente o melhor possível, mas permanece não comprovado.

Limites superiores

Hammersley também encontrou um limite superior constante no sofá, mostrando que ele é no máximo 2 2 ≈ 2.8284 {\displaystyle 2{\sqrt {2}}\approx 2.8284} .[1][5]

Yoav Kallus e Dan Romik provaram um novo limite superior em junho de 2017, encerrando o sofá constantemente em 2.37 {\displaystyle 2.37} .[6]

Sofá ambidestro

Sofá ambidestro de Romik

Uma variante do problema do sofá pergunta a forma da maior área que pode contornar os cantos esquerdo e direito de 90 graus em um corredor de largura da unidade. Um limite inferior da área de aproximadamente 1.64495521 foi descrito por Dan Romik. Seu sofá também é descrito por 18 seções curvas.[7][8]

Veja também

  • Holistic Detective Agency de Dirk Gently - romance de Douglas Adams, cuja subtrama gira em torno de um problema desse tipo.
  • Problema de escalada
  • O problema do verme de Moser

Referências

  1. ↑ a b c Wagner (1976). «The Sofa Problem» (PDF). The American Mathematical Monthly. 83: 188–189. JSTOR 2977022. doi:10.2307/2977022 
  2. ↑ Gerver (1992). «On Moving a Sofa Around a Corner». Geometriae Dedicata. 42: 267–283. ISSN 0046-5755. doi:10.1007/BF02414066 
  3. ↑ Weisstein, Eric W. «Moving sofa problem» (em inglês). MathWorld 
  4. ↑ Gibbs, Philip, A Computational Study of Sofas and Cars
  5. ↑ Stewart, Ian (janeiro de 2004). Another Fine Math You've Got Me Into... Dover Publications. Mineola, N.Y.: [s.n.] ISBN 0486431819 
  6. ↑ Kallus. «Improved upper bounds in the moving sofa problem». Advances in Mathematics. 340: 960–982. ISSN 0001-8708. arXiv:1706.06630Acessível livremente. doi:10.1016/j.aim.2018.10.022 
  7. ↑ Romik (2017). «Differential equations and exact solutions in the moving sofa problem». Experimental Mathematics. 26: 316–330. arXiv:1606.08111Acessível livremente. doi:10.1080/10586458.2016.1270858 
  8. ↑ Romik, Dan. «The moving sofa problem - Dan Romik's home page». UCDavis. Consultado em 26 de março de 2017 

Ligações externas

  • Romik, Dan (23 de março de 2017). «The Moving Sofa Problem» (video). Brady Haran. Consultado em 24 de março de 2017 
  • SofaBounds - Programa para calcular limites no problema de movimentação do sofá.
  • Um modelo 3D do sofá ambidestro de Romik