Algebră boreliană

Algebra boreliană este un concept al matematicii, utilizat în topologie și teoria măsurii. Numele se datorează matematicianului francez Émile Borel.

Definiție

Fie ${\displaystyle \Omega \,}$ un spațiu topologic. Atunci algebra boreliană asociată este sigma-algebră minimă care conține mulțimile deschise din ${\displaystyle \Omega \,}$ .

O altă definiție (neechivalentă cu prima!) se obține înlocuind termenul de mulțime deschisă cu cel de mulțime compactă.

Generarea algebrei boreliene

În cazul particular în care ${\displaystyle \Omega \,}$ este spațiu metric, algebra boreliană poate fi descrisă astfel:

Fie ${\displaystyle {\mathcal {P}}(\Omega )}$ mulțimea părților lui ${\displaystyle \Omega \,}$ . Definim:

• ${\displaystyle T_{\sigma }\quad }$ toate reuniunile de mulțimi numărabile din ${\displaystyle {\mathcal {P}}(\Omega )}$ ,

• ${\displaystyle T_{\delta }\quad }$ toate intersecțiile de mulțimi numărabile din ${\displaystyle {\mathcal {P}}(\Omega )}$ ,

• ${\displaystyle T_{\delta \sigma }=(T_{\delta })_{\sigma }}$ .

Definim prin inducție un șir ${\displaystyle G^{n}\,}$ unde ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ astfel:

• ${\displaystyle G^{0}=}$ mulțimea tuturor mulțimilor deschise din ${\displaystyle \Omega }$ .

• ${\displaystyle G^{i}={G^{i-1}}_{\sigma \omega }}$ .

• ${\displaystyle G^{i}=\bigcup _{j<i}{G^{j}}}$ .

Astfel, algebra boreliană este ${\displaystyle G^{n}}$ pentru un n indefinit (care tinde la infinit), așadar această algebră poate fi generată plecând de la mulțimea mulțimilor deschise și iterând operația:

${\displaystyle G\mapsto G_{\delta \sigma }}$ .

Bibliografie

• Bobancu, V. - Dicționar de matematici generale, Edituira Enciclopedică Română, București, 1974
• Ion, I.D. - Algebră pentru perfecționarea profesorilor, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1983

Legături externe

• ro Curs al Universității din București. Arhivat în 14 ianuarie 2005, la Wayback Machine.

• en Algebra boreliană la Wolfram MathWorld.

• en Algebra boreliană la PlanetMath. Arhivat în 6 octombrie 2007, la Wayback Machine.