Evrensel cebir

Evrensel cebir, matematiğin bir dalı olup bütün cebirsel yapılara ortak olan özellikleri inceleyen bilimin adıdır.

Evrensel cebirde, bir (soyut) cebir bir birim ${\displaystyle A}$ ve onun tanımlı olan operasyonlardan oluşur. (Operasyon sembolları sadece "fonksiyonların ismi" olarak kullanılır).

Operasyonların toplamına "imza" (en. "signature") adı verilir ${\displaystyle \Sigma =\{+,*\}}$.

${\displaystyle +::A\times A\rightarrow A}$

${\displaystyle *::A\times A\rightarrow A}$

${\displaystyle 0::\rightarrow A}$

${\displaystyle 1::\rightarrow A}$

0,1 gibi operasyonlara "sabit" denilir. Operasyonlar soyut bir şekilde eşitliklerle tarif edilebilir. Mesela alttaki eşitliklerin tümüne "E" diyelim.

${\displaystyle 0+x=x}$

${\displaystyle x+y=y+x}$

${\displaystyle (x+y)+z=x+(y+z)}$

${\displaystyle x*1=x}$

${\displaystyle x*y=y*x}$

${\displaystyle (x*y)*z=x*(y*z)}$

Yukardaki imza ${\displaystyle \Sigma }$ bir cebir doğasal sayılardır ${\displaystyle N(\mathbb {N} ,+^{N},*^{N},0^{N},1^{N})}$. Burada ${\displaystyle +^{N}}$ bildiğimiz "arti" fonksiyonudur.

Bu cebir yukardaki ${\displaystyle E}$ adı verdiğimiz tüm eşitlikleri "kabul eder" (en. "satisfy")${\displaystyle N\models E}$. Başka bir deyimle, N yapısı E'nin bir modelidir.

E'nin başka bir bir modelini daha tanimlayalım.${\displaystyle B=(\{a,b\},+^{B},*^{B},0^{B},1^{B})}$

${\displaystyle 0^{B}\mapsto a}$

${\displaystyle 1^{B}\mapsto b}$

${\displaystyle a+^{B}a\mapsto a}$

${\displaystyle a+^{B}b\mapsto b}$

${\displaystyle b+^{B}a\mapsto b}$

${\displaystyle b+^{B}b\mapsto b}$

${\displaystyle a*^{B}a\mapsto a}$

${\displaystyle a*^{B}b\mapsto a}$

${\displaystyle b*^{B}a\mapsto a}$

${\displaystyle b*^{B}b\mapsto b}$

Bunun bir model olduğunu (yani ${\displaystyle B\models E}$ ifadesini) kanıtlamak kolaydır.

Evrensel cebirde önemli sorulardan birkaç tanesi:

• Bir eşitlikler birimini ${\displaystyle E}$ nin modeli var mıdır?
• E'nin tüm modellerin ortak özellikleri nedir
• E'nin modelleri, E'den başka hangi eşitlikleri "kabul eder" ?

Mesela ${\displaystyle x=1*x}$ eşitliği, yukardaki ${\displaystyle E}$nin bir neticesidir. ${\displaystyle E\models x=1*x}$ yazarak bunu ifade ederiz.

${\displaystyle \{s=t|E\models s=t\}}$ birimine "E'nin teorisi" denilir.

Kaynakça

• Wolfgang Wechler. Universal Algebra. Springer-Verlag

Dış bağlantılar

• A Course in Universal Algebra23 Ocak 2005 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. Stanley N. Burris and H.P. Sankappanavar tarafından hazırlanan açık bir evrensel cebir ders kitabıdır.

Matematik ile ilgili bu madde taslak seviyesindedir. Madde içeriğini genişleterek Vikipedi'ye katkı sağlayabilirsiniz.