Immersione (geometria)

In geometria, una immersione è una funzione differenziabile fra varietà differenziabili, il cui differenziale è ovunque iniettivo.

Le immersioni non sono necessariamente iniettive globalmente, ma lo sono localmente. La nozione di immersione è duale a quella di Sommersione.

Definizione

Una funzione differenziabile

f : M → N {\displaystyle f:M\to N}

fra due varietà differenziabili è una immersione se il differenziale

d p f : T p M → T f ( p ) N {\displaystyle d_{p}f:T_{p}M\to T_{f(p)}N}

è iniettivo per ogni punto p {\displaystyle p} di M {\displaystyle M} .[1] Equivalentemente, se il rango del differenziale è ovunque pari alla dimensione di M {\displaystyle M}

rank f = dim ⁡ M . {\displaystyle \operatorname {rank} \,f=\dim M.}

L'equivalenza fra le due definizioni è garantita dal teorema della dimensione.

Le varietà differenziabili M {\displaystyle M} e N {\displaystyle N} possono essere ad esempio degli aperti contenuti in spazi euclidei R k {\displaystyle \mathbb {R} ^{k}} e R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} .

Iniettività

Una immersione f {\displaystyle f} non è necessariamente iniettiva. Lo è però localmente, grazie ad una versione del teorema di invertibilità locale: ogni punto p {\displaystyle p} di M {\displaystyle M} ha un intorno U {\displaystyle U} su cui la funzione è iniettiva.

Note

Bibliografia

  • M. Abate, F. Tovena, Geometria Differenziale, Springer, 2011, ISBN 978-88-470-1919-5.
  • Czes Kosniowski, Introduzione alla Topologia Algebrica, Zanichelli, 1988, ISBN 88-08-06440-9.
  • G. Gentili, F. Podestà, E. Vesentini, Lezioni di Geometria Differenziale, Torino, Bollati Boringhieri, 1995, ISBN 978-88-339-5556-8.
  • Edoardo Sernesi, Geometria 2, Torino, Bollati Boringhieri, 1994, ISBN 978-88-339-5548-3.
  • (EN) R.W. Sharpe, Differential Geometry: Cartan's Generalization of Klein's Erlangen Program, Springer-Verlag, New York, 1997, ISBN 0-387-94732-9.
  • (EN) F.W. Warner, Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups, Springer-Verlag, New York, 1983, ISBN 0-387-90894-3.

Voci correlate

  • Immersione (matematica)
  • Sommersione
  Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica