Całka Pettisa

Całka Pettisa a. Gelfanda-Pettisa – rozszerzenie pojęcia całki na funkcje o wartościach w przestrzeniach liniowo-topologicznych poprzez sprowadzenie do zagadnienia całkowalności złożeń funkcji z ciągłymi funkcjonałami liniowymi na rozważanej przestrzeni. W tym wypadku, zagadnienie całkowalności w sensie Pettisa zależy od trzech czynników: własności przestrzeni z miarą na której określona jest funkcja, własności samej przestrzeni wartości oraz postaci ciągłych funkcjonałów liniowych. Należy mieć na uwadze, że całkowalnść w sensie Pettisa jest tylko jednym z możliwych uogólnień całkowalności na funkcje o wartościach wektorowych. Do innych tego rodzaju uogólnień należą m.in. całka Birkhoffa, całka McShane’a, całka Dunforda czy całka Bochnera. Nazwa pojęcia pochodzi od nazwisk matematyków I. M. Gelfanda i B.J. Pettisa.

Definicja

Niech ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},\mu )}$ będzie przestrzenią z miarą oraz niech ${\displaystyle X}$ będzie przestrzenią liniowo-topologiczną z nietrywialną przestrzenią sprzężoną ${\displaystyle X^{*}.}$ O funkcji ${\displaystyle f\colon \Omega \to X}$ mówi się, że jest całkowalna w sensie Pettisa, gdy dla każdego zbioru ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$ oraz wszelkich funkcjonałów ${\displaystyle x^{*}\in X^{*}}$ istnieje taki element ${\displaystyle x_{A}}$ przestrzeni ${\displaystyle X,}$ że

${\displaystyle \langle x^{*},x_{A}\rangle =\int _{A}\langle x^{*},f(t)\rangle \mu ({\mbox{d}}\,t).}$

Punkt ${\displaystyle x_{A},}$ we wzorze powyżej, nazywany jest całką Pettisa z funkcji ${\displaystyle f}$ na zbiorze ${\displaystyle A}$ względem miary ${\displaystyle \mu }$ i oznaczany symbolem

${\displaystyle x_{A}=(P)\int _{A}f{\mbox{d}}\mu .}$

Każda funkcja ${\displaystyle f}$ całkowalna w sensie Pettisa jest również słabo mierzalna, to znaczy dla każdego ${\displaystyle x^{*}\in X^{*}}$ funkcja

${\displaystyle x^{*}\circ f}$

jest mierzalna w ciele skalarów.

W przypadku, gdy ${\displaystyle X}$ jest przestrzenią Banacha, funkcja

${\displaystyle {\mathcal {A}}\ni A\mapsto (P)\int _{A}f{\mbox{d}}\mu }$

jest miarą wektorową przeliczalnie addytywną, nazywaną całką nieoznaczoną Pettisa z funkcji ${\displaystyle f.}$

W przypadku funkcji o wartościach w przestrzeniach refleksywnych pojęcia całkowalności w sensie Pettisa i w sensie Dunforda pokrywają się.

Przykłady

Przykład funkcji całkowalnej w sensie Pettisa, której norma nie jest całkowalna.

Niech ${\displaystyle X}$ będzie przestrzenią Hilberta oraz ${\displaystyle \{e_{n}\colon \,n\in \mathbb {N} \}}$ będzie ciągiem ortonormalnym punktów tej przestrzeni. Funkcja ${\displaystyle f\colon [0,\infty )\to X}$ dana wzorem

${\displaystyle f(t)={\frac {1}{n}}e_{n},\,t\in [n,n+1),\,n\in \mathbb {N} }$

jest całkowalna w sensie Pettisa względem miary Lebesgue’a natomiast

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\|f(t)\|dt=\infty .}$

Przykład funkcji niecałkowalnej

Funkcja ${\displaystyle f\colon [0,1]\to c_{0},}$ dana wzorem

${\displaystyle f(t)=\left(n\cdot \mathbf {1} _{(0,{\tfrac {1}{n}}]}(t)\right)_{n\in \mathbb {N} }}$

nie jest całkowalna w sensie Pettisa. Istotnie, niech ${\displaystyle x^{*}\in c_{0}^{*}}$ oraz niech ${\displaystyle y=(t_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ będzie odpowiadającym mu elementem z przestrzeni ${\displaystyle \ell ^{1}}$ (zob. twierdzenie Riesza dla przestrzeni ${\displaystyle c_{0}}$).

${\displaystyle \int _{0}^{1}|x^{*}f(t)|dt=\int _{0}^{1}\left|\sum _{n=1}^{\infty }t_{n}n\mathbf {1} _{(0,{\tfrac {1}{n}}]}(t)\right|\,dt\leqslant \int _{0}^{1}\sum _{n=1}^{\infty }|t_{n}|n\mathbf {1} _{(0,{\tfrac {1}{n}}]}(t)\,dt=\sum _{n=1}^{\infty }|t_{n}|n\cdot {\frac {1}{n}}=\sum _{n=1}^{\infty }|t_{n}|<\infty .}$

Gdyby istniała całka ${\displaystyle (P)\int _{0}^{1}f(t)\,dt=(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in c_{0},}$ to

${\displaystyle x_{n}=\int _{0}^{1}x_{n}^{*}f(t)\,dt=\int _{0}^{1}n\cdot \mathbf {1} _{(0,{\tfrac {1}{n}}]}(t)\,dt=1,\,n\in \mathbb {N} ,}$

gdzie ${\displaystyle x_{n}^{*}\in c_{0}^{*}}$ przyporządkowuje elementowi przestrzeni ${\displaystyle c_{0}}$ jego ${\displaystyle n}$-ty wyraz.

Pettis Integral Property

Niech ${\displaystyle \mu }$ będzie miarą skończoną na przestrzeni ${\displaystyle \Omega .}$ Mówimy, że przestrzeń Banacha ma własność ${\displaystyle \mu }$-PIP (Pettis Integral Property), gdy każda funkcja słabo mierzalna i ${\displaystyle \mu }$-p.w. słabo ograniczona ${\displaystyle f\colon \Omega \to X}$ jest całkowalna w sensie Pettisa względem ${\displaystyle \mu .}$ W szczególności, używa się zapisu Lebesgue-PIP w przypadku miary Lebesgue’a na odcinku jednostkowym. Mówi się, że przestrzeń Banacha ma własność PIP, gdy ma własność ${\displaystyle \mu }$-PIP dla każdej miary skończonej ${\displaystyle \mu .}$

Nie każda przestrzeń Banacha ma własność PIP. Na przykład przestrzeń funkcji ciągłych określonych na przestrzeni zwartej ${\displaystyle \omega _{1}+1=[0,\omega _{1}],}$ gdzie ${\displaystyle \omega _{1}}$ oznacza pierwszą nieprzeliczalną liczbę porządkową, nie ma własności ${\displaystyle \mu }$-PIP dla pewnej miary Baire’a na σ-algebrze swoich podzbiorów mających własność Baire’a w sensie słabej topologii^[1]. Istnieją przestrzenie ${\displaystyle X}$ (np. tzw. długa przestrzeń Jamesa) takie, że ${\displaystyle X}$ i ${\displaystyle X^{*}}$ mają własność Radona-Nikodýma (RNP), ale one same nie mają własności PIP^[2]. Pod założeniem hipotezy continuum (CH) albo negacji CH i aksjomatu Martina długa przestrzeń Jamesa nie ma własności Lebesgue-PIP.

• Jeżeli istnieje liczba mierzalna, to każda przestrzeń Banacha ma własność Lebesgue-PIP^[3].
• Jeżeli ${\displaystyle \nu }$ jest miarą, która nie jest ośrodkowa, to przestrzeń ${\displaystyle L^{\infty }(\nu )}$ ze słabą topologią nie jest przestrzenią Hewitta^[4]. Oznacza to, że istnieje miara ${\displaystyle \mu }$ o wartościach tylko 0 lub 1 dla której ${\displaystyle L^{\infty }(\nu )}$ nie ma własności ${\displaystyle \mu }$-PIP^[5].

Przestrzeń funkcji całkowalnych w sensie Pettisa

Niech ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},\mu )}$ będzie przestrzenią z miarą skończoną oraz ${\displaystyle X}$ będzie przestrzenią Banacha. W przestrzeni ${\displaystyle {\mathcal {P}}(\mu ,X)}$ wszystkich funkcji (klas równoważności ${\displaystyle \mu }$-p.w.) całkowalnych w sensie Pettisa ${\displaystyle f\colon \Omega \to X,}$ funkcjonał określony wzorem

${\displaystyle \|f\|=\sup \left\{\int _{\Omega }|x^{*}f(t)|\,\mu (dt)\colon \,x^{*}\in X^{*},\,\|x^{*}\|\leqslant 1\right\}}$

jest normą. Bezpośrednio z definicji wynika, że jeżeli ${\displaystyle f\in {\mathcal {P}}(\mu ,X),}$ to

${\displaystyle \left\|(P)\int _{\Omega }f\,d\mu \right\|\leqslant \|f\|.}$

W przypadku, gdy ${\displaystyle X}$ jest przestrzenią nieskończenie wymiarową, to ${\displaystyle {\mathcal {P}}(\mu ,X)}$ nie jest przestrzenią zupełną (przestrzenią Banacha), jest natomiast przestrzenią beczkowatą^[6] (a zatem prawdziwe są w stosunku niej pewne wersje twierdzenia Banacha-Steinhausa i twierdzenia o wykresie domkniętym).

Zobacz też

• całka względem miary wektorowej
• własność Dunforda-Pettisa

Przypisy

Bibliografia

• J.K. Brooks, Representations of weak and strong integrals in Banach spaces, Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. 63, 1969, 266–270. pełny tekst
• J. Diestel, J.J. Uhl: Vector Measures. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, 1977
• I. M. Gelfand, Sur un lemme de la théorie des espaces linéaires, Commun. Inst. Sci. Math. et Mecan., Univ. Kharkoff et Soc. Math. Kharkoff, IV. Ser. 13, 1936, 35–40 Zbl 0014.16202
• K. Musial, Topics in the theory of Pettis integral, Rendiconti dell’Istituto di Matematica dell’Universita di Trieste, XXIII (1991), 177-262
• K. Musial, Pettis Integral, Handbook of Measure Theory I, North-Holland 2002, 531-586
• M. Talagrand, Pettis Integral and Measure Theory, Memoirs of the AMS no. 307 (1984)