Liczba przeciwna

Liczba przeciwna do danej liczby ${\displaystyle a}$ – taka liczba ${\displaystyle -a,}$ że zachodzi^[1]:

${\displaystyle a+(-a)=0,}$

gdzie ${\displaystyle 0}$ jest elementem zerowym działania dodawania.

Przykład:

• liczbą przeciwną do liczby 3 jest liczba −3.

W szczególności:

• liczbą przeciwną do zera jest zero,
• liczbą przeciwną do przeciwnej do ${\displaystyle x}$ jest liczba ${\displaystyle x.}$

W zbiorach liczb całkowitych, wymiernych, rzeczywistych i zespolonych dla każdej liczby istnieje liczba przeciwna. Zbiory te wraz z dodawaniem są bowiem w szczególnym przypadkiem tzw. grup – a jeden z aksjomatów grupy wymaga istnienia elementu odwrotnego do każdego elementu zbioru.

W zbiorach liczb naturalnych, oraz w klasach liczb kardynalnych i porządkowych nie jest to już prawda – liczby ujemne nie należą do zbioru liczb naturalnych, a dla nieskończonych liczb kardynalnych i porządkowych liczby przeciwne w ogóle nie są zdefiniowane, o ile nie wprowadzimy ich sztucznie, np. tak jak w liczbach nadrzeczywistych.

Uogólnienie na grupy uporządkowane

Z punktu widzenia algebry jest to pojęcie elementu odwrotnego do danego wyrażone w terminologii addytywnej.

Jeżeli w grupie jest określony porządek liniowy ${\displaystyle \leqslant }$ spełniający^[2][3]

${\displaystyle a\leqslant b\implies (a+c\leqslant b+c\land c+a\leqslant c+b),}$

to

• elementy dla których ${\displaystyle a\leqslant 0,}$ nazywamy niedodatnimi,
• elementy dla których ${\displaystyle 0\leqslant a,}$ nazywamy nieujemnymi,
• elementy niedodatnie niezerowe nazywamy ujemnymi,
• elementy nieujemne niezerowe nazywamy dodatnimi,

Takimi grupami są wspomniane wyżej grupy liczb całkowitych, wymiernych i rzeczywistych (ale nie zespolonych).

Wówczas, jak łatwo sprawdzić:

• element przeciwny do dodatniego jest ujemny,
• element przeciwny do ujemnego jest dodatni.

Warto wspomnieć jeszcze, że np. grupach z dodawaniem modulo n gdzie n jest parzyste istnieją elementy niezerowe, które są przeciwne do samych siebie.

Zobacz też

• arytmetyka

Przypisy