Teoria układów dynamicznych

Teoria układów dynamicznych – dziedzina matematyki zajmująca się układami dynamicznymi^[1]. Najogólniej mówiąc, jest to nauka o zbiorach, na których możemy zdefiniować pewne przekształcenie. Znajduje ona liczne zastosowania, zarówno w naukach stosowanych jak i w matematyce teoretycznej.

Poddziały

Teoria chaosu

Teoria chaosu opisuje układy dynamiczne, które są szczególnie wrażliwe na warunki początkowe (potocznie bywa to nazywane efektem motyla). Pomimo że jest to w pełni chaos deterministyczny, tzn. określony jednoznacznie przez warunki początkowe, układy chaotyczne bywają na tyle skomplikowane, że dokładne ustalenie ich zachowania okazuje się być praktycznie niemożliwe^[2].

Dynamika topologiczna

Dynamika topologiczna zajmuje się topologicznymi układami dynamicznymi.

Dynamika symboliczna

Dynamika symboliczna zajmuje się topologicznymi układami składającymi się z nieskończonych ciągów (odpowiadających stanom układu) i przekształcenia będącego przesunięciem (translacją).^[3]

Teoria ergodyczna

Teoria ergodyczna zajmuje się własnościami statystycznymi układów dynamicznych, przede wszystkim - układów ergodycznych^[4]. Formalnie, zakładamy zwykle, że przekształcenia w układzie zachowują miarę. Upraszczając. wielkość danego podzbioru całego układu jest "taka sama" przed i po działaniu przekształcenia. Intuicję stojącą za pojęciem ergodyczności można wyrazić tym, że przekształcanie układu dobrze "miesza" jego elementy.

Zastosowania

Teoria liczb

Jednym z najbardziej znanych wyników z teorii liczb udowodnionych z wykorzystaniem układów dynamicznych jest twierdzenie Van der Waerdena. W dowodzie wykorzystuje się twierdzenie Poincarégo o rekurencji. Pierwotny dowód był o wiele trudniejszy i korzystał ze skomplikowanych tożsamości kombinatorycznych^[5].

Przypisy

↑ LuisL. Barreira LuisL., ClaudiaC. Valls ClaudiaC., Dynamical Systems, „Universitext”, 2013, DOI: 10.1007/978-1-4471-4835-7, ISSN 0172-5939 .
↑ Stephen H.S.H. Kellert Stephen H.S.H., In the wake of chaos: unpredictable order in dynamical systems, wyd. Paperback ed, Science and its conceptual foundations series, Chicago: Univ. of Chicago Press, 1994, ISBN 978-0-226-42976-2 [dostęp 2023-12-08] .
↑ BailinB. Hao BailinB., Elementary symbolic dynamics and chaos in dissipative systems, Singapore: World Scientific Publ, 1989, ISBN 978-9971-5-0682-7 [dostęp 2023-12-08] .
↑ PeterP. Walters PeterP., An Introduction to Ergodic Theory, „Graduate Texts in Mathematics”, 1982, DOI: 10.1007/978-1-4612-5775-2, ISSN 0072-5285 .
↑ ManfredM. Einsiedler ManfredM., ThomasT. Ward ThomasT., Ergodic Theory, 2011, DOI: 10.1007/978-0-85729-021-2 .

Linki zewnętrzne

układy dynamiczne, [w:] Encyklopedia PWN [dostęp 2022-11-09] .
ergodyczna teoria, [w:] Encyklopedia PWN [dostęp 2022-11-09] .

Działy matematyki

działy
ogólne

według trudności	matematyka elementarna matematyka wyższa
według celu	matematyka czysta matematyka stosowana
inne	matematyka doświadczalna matematyka parakonsystentna supermatematyka

działy
czyste

algebra	elementarna liniowa i wieloliniowa abstrakcyjna algebra przemienna algebra lokalna teoria Galois różniczkowa teoria Galois teoria grup geometryczna teoria grup teoria Liego homologiczna różniczkowa uniwersalna teoria reprezentacji
analiza matematyczna	analiza algebraiczna analiza funkcjonalna teoria spektralna analiza geometryczna analiza globalna analiza harmoniczna analiza mikrolokalna analiza na rozmaitościach analiza niestandardowa analiza numeryczna nomografia analiza p-adyczna analiza rzeczywista analiza wektorowa analiza wielowymiarowa analiza wypukła analiza zespolona rachunek różniczkowy i całkowy rachunek wariacyjny teoria dystrybucji teoria miary teoria potencjału
arytmetyka	elementarna teoretyczna lub wyższa, in. teoria liczb algebraiczna algorytmiczna analityczna elementarna geometryczna teoria sit
geometria	absolutna afiniczna algebraiczna analityczna arytmetyczna diofantyczna dyskretna euklidesowa planimetria stereometria fraktalna inwersyjna kombinatoryczna konforemna metryczna nieeuklidesowa eliptyczna hiperboliczna sferyczna nieprzemienna obliczeniowa różniczkowa symplektyczna rzutowa skończona syntetyczna tropikalna uporządkowania wykreślna zespolona trygonometria sferyczna
matematyka dyskretna	kombinatoryka teoria Ramseya teoria grafów algebraiczna geometryczna spektralna topologiczna
podstawy	logika matematyczna algebraiczna mereologia rachunek zdań teoria dowodu teoria modeli teoria rekursji teoria typów metamatematyka metalogika teoria kategorii teoria mnogości opisowa arytmetyka liczb kardynalnych arytmetyka liczb porządkowych teoria PCF teoria obliczeń teoria obliczalności teoria złożoności
teoria układów dynamicznych	teoria chaosu teoria katastrof teoria ergodyczna
topologia	algebraiczna teoria homotopii geometryczna mnogościowa ogólna różniczkowa teoria Morse’a teoria położenia teoria węzłów teoria warkoczy teoria wymiaru
pozostałe	K-teoria probabilistyka rachunek różnicowy teoria osobliwości teoria porządku teoria punktu stałego

działy
stosowane

nauki przyrodnicze	biomatematyka chemia matematyczna fizyka matematyczna
nauki społeczne	ekonomia matematyczna lingwistyka matematyczna matematyka finansowa matematyka ubezpieczeniowa psychologia matematyczna socjologia matematyczna teoria głosowań
nauki techniczne	kryptologia teoria informacji teoria kolejek teoria sterowania
statystyka matematyczna	rachunek wyrównawczy statystyka nieparametryczna teoria estymacji
inne	teoria gier teoria decyzji