Matriz ortogonal

 Nota: Para matrizes complexas ortogonais, veja Matriz unitária.

Em Álgebra linear, uma matriz quadrada é dita ortogonal se sua matriz inversa coincide com sua matriz transposta.^[1][2][3]

Isto é, uma matriz ${\displaystyle M\in \mathbb {R} ^{n\times n}}$ é ortogonal se ${\displaystyle M^{-1}=M^{T}}$

Definição

Uma matriz ${\displaystyle M\in R^{n\times n}}$ é dita ortogonal se:

• ortogonal se for invertível, isto é: ${\displaystyle det(M)\neq 0}$^[4]; (necessário, mas não é suficiente)
• ortogonal se somente se sua matriz inversa ${\displaystyle M^{-1}}$ coincide com sua matriz transposta ${\displaystyle M^{T}}$, isto é: ${\displaystyle M^{-1}=M^{T}}$^[5] (necessário e suficiente)

Exemplos

• Matriz identidade:

${\displaystyle I_{n}={\begin{bmatrix}1&0&0&\cdots &0\\0&1&0&\cdots &0\\0&0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\0&0&0&\cdots &1\end{bmatrix}}_{n\times n}}$;

• Matriz de rotação (anti-horário)

${\displaystyle R_{\theta }={\begin{bmatrix}\cos \,\theta &{\text{-sen}}\,\theta \\{\text{sen}}\,\theta &\cos \,\theta \end{bmatrix}}}$

• Matriz de reflexão em torno do eixo ${\displaystyle x}$:

${\displaystyle R_{x}={\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}}$

Propriedades

Matrizes ortogonais possuem as seguintes propriedades:^[1]

• Se ${\displaystyle A}$ é uma matriz ortogonal, então ${\displaystyle \det(A)=\pm 1}$.^{[demonstração 1]}

• A matriz ${\displaystyle A}$ é ortogonal se, e somente se, suas colunas formam um conjunto ortonormal.^{[demonstração 2]}

• A matriz ${\displaystyle A}$ é ortogonal se, e somente se, suas linhas formam um conjunto ortonormal.^{[demonstração 3]}

1. A matriz ${\displaystyle A}$ é ortogonal se, e somente se, sua transposta ${\displaystyle A^{T}}$ também é.^{[demonstração 4]}

• Se ${\displaystyle A}$ é uma matriz ortogonal, então ${\displaystyle cA}$ é ortogonal se, e somente se, ${\displaystyle c=\pm 1}$.^{[demonstração 5]}

Ver também

• Matriz ortogonalmente diagonalizável

Referências

Bibliografia

• Kolman, B. (2013). Álgebra linear com aplicações 9 ed. [S.l.]: LTC. ISBN 9788521622086 
• Strang, Gilbert (2010). Álgebra linear e suas aplicações 4 ed. [S.l.]: Cengage. ISBN 9788522107445 
• Lay, David (2013). Álgebra linear e suas aplicações 4 ed. [S.l.]: LTC. ISBN 9788521622093 
• Santos, Reginaldo J. (2013). Introdução à Álgebra Linear. Belo Horizonte: Imprensa universitária - UFMG. ISBN 8574700185 

Demonstrações