Matriz simétrica

Em álgebra linear, uma matriz diz-se simétrica se coincidir com a sua transposta, ou seja, se ${\displaystyle A=A^{T}.}$^[1]

Propriedades

Seja ${\displaystyle A}$ uma matriz quadrada de ordem ${\displaystyle n.}$ Então:

• Se ${\displaystyle A}$ é simétrica, então para qualquer escalar ${\displaystyle k,}$ a matriz ${\displaystyle k.A}$ também é simétrica
• A matriz ${\displaystyle B=A+A^{T}}$ é simétrica
• A matriz ${\displaystyle B=A-A^{T}}$ é uma matriz antissimétrica
• ${\displaystyle A}$ sempre pode ser decomposta como a soma de uma matriz simétrica ${\displaystyle S}$ com uma matriz antissimétrica ${\displaystyle T,}$ isto é, ${\displaystyle A=S+T,}$ onde:

$${\displaystyle S={\frac {1}{2}}\left(A+A^{T}\right)}$$

$${\displaystyle T={\frac {1}{2}}\left(A-A^{T}\right)}$$

Além disso, deve-se notar que qualquer matriz simétrica:

• É quadrada, isto é, tem tantas linhas quanto colunas;
• Tem todos os valores próprios reais;
• É diagonalizável ^[2] através de uma matriz ortogonal.

Exemplos

As matrizes a seguir são exemplos de matrizes simétricas:

• A matriz ${\displaystyle S=S^{T}={\begin{bmatrix}1&5&9\\5&3&8\\9&8&7\\\end{bmatrix}}}$ é simétrica^[3].
• A matriz nula, de qualquer ordem;
• A matriz identidade, de qualquer ordem;
• A matriz ${\displaystyle A+A^{T},}$ para qualquer matriz quadrada A.
• As matrizes ${\displaystyle A^{T}\times A}$ e ${\displaystyle A\times A^{T}}$ são simétricas, para qualquer matriz ${\displaystyle A}$ real ${\displaystyle m\times n}$. Por exemplo, a matriz ${\displaystyle B={\begin{bmatrix}2&0&2\\1&-1&2\\0&3&0\\\end{bmatrix}}}$ tem como transposta a matriz ${\displaystyle B^{T}={\begin{bmatrix}2&1&0\\0&-1&3\\2&2&0\\\end{bmatrix}}}$. Nenhuma delas é uma matriz simétrica. Entretanto, o produto dessas duas matrizes, ${\displaystyle B\times B^{T}={\begin{bmatrix}8&6&0\\6&4&-3\\0&-3&0\\\end{bmatrix}}}$, é uma matriz simétrica^[3].

Ver também

• Matriz antissimétrica

Referências

Bibliografia

• Callioli, Carlos A.; Hygino H. Domingues; Roberto C. F. Costa (1990). Álgebra Linear e Aplicações 6 ed. São Paulo: Atual. ISBN 9788570562975  A referência emprega parâmetros obsoletos |coautor= (ajuda)

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